ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ για τις ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ


§1.1: Εξάγεται η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση του αρμονικού ταλαντωτή, αρχικά από τον 2ο νόμο του Newton και στη συνέχεια από την αρχή διατήρησης της ενέργειας. Επίσης προσδιορίζεται η εξίσωση της κυκλικής συχνότητας του αρμονικού ταλαντωτή
χωρίς καμία αναφορά στους φυσικούς νόμους, χρησιμοποιώντας διαστατική ανάλυση.
§1.2: Επιλύεται η διαφορική εξίσωση του αρμονικού ταλαντωτή και διερευνάται η γενική λύση για διάφορες αρχικές συνθήκες. Δεδομένου ότι η αρμονική ταλάντωση προκύπτει όταν σ’ ένα σώμα ασκείται δύναμη της μορφής ΣF=-Dx, στην ίδια ενότητα διερευνώνται επίσης οι κινήσεις στις περιπτώσεις δυνάμεων της μορφής:
 όπου C=σταθερά.
§1.3: Στο τέλος του 1ου κεφαλαίου δίνεται απάντηση στο ερώτημα γιατί η αρμονική ταλάντωση είναι ένα από τα σπουδαιότερα κεφάλαια της Φυσικής.

 Κεφάλαιο Δεύτερο: Η ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ
§2.1: Εξάγεται η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την φθίνουσα ταλάντωση με δύναμη απόσβεσης ανάλογη της ταχύτητας, για την επίλυση της οποίας διακρίνονται τρεις περιπτώσεις.
§2.2: Επιλύεται η πρώτη περίπτωση (ασθενής απόσβεση, γ<ω0) αρχικά με τον κλασικό τρόπο, αλλά και με την μέθοδο WKB.
Επίσης εξετάζεται η χρονική εξέλιξη της κινητικής, της δυναμικής και της συνολικής ενέργειας, ενώ ορίζονται οι μέσες τιμές αυτών των μεγεθών καθώς επίσης και μεγέθη όπως: ο χρόνος ημιζωής, ο χρόνος αποκατάστασης και ο συντελεστής ποιότητας.
§2.3, §2.4: Επιλύονται και διερευνώνται οι άλλες δυο περιπτώσεις της φθίνουσας ταλάντωσης (κρίσιμη, γ=ω0 και ισχυρή απόσβεση, γ>ω0 ).
§2.5: Γίνεται σύγκριση των τριών περιπτώσεων της φθίνουσας ταλάντωσης.
§2.6: Δίνεται απάντηση στο ερώτημα «τι συμβαίνει όταν η σταθερά απόσβεσης είναι αρνητική;»

§3.1: Αναλύεται ένα συνηθισμένο φαινόμενο που αποφεύγουμε να μελετήσουμε: η φθίνουσα ταλάντωση συστήματος μάζας-οριζόντιου ελατηρίου, όπου τον ρόλο της δύναμης απόσβεσης παίζει η τριβή ολίσθησης ή μια δύναμη της μορφής:
§3.2: Εξετάζεται η περίπτωση (που αρχικά φαίνεται να οδηγεί σε αδιέξοδο) κατά την οποία η δύναμη απόσβεσης είναι ανάλογη της απομάκρυνσης:


§4.1: Όπως και στα προηγούμενα κεφάλαια αρχικά καθορίζεται η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την εξαναγκασμένη ταλάντωση. Στη συνέχεια λύνεται η απορία γιατί πάντοτε μελετάμε την εξαναγκασμένη ταλάντωση με ημιτονοειδή (ή συνημιτονοειδή) διεγείρουσα δύναμη.
§4.2: Επιλύεται η διαφορική εξίσωση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης και αγνοώντας τα μεταβατικά φαινόμενα (που εξετάζονται πιο κάτω) διερευνάται η μερική λύση που εκφράζει την λεγόμενη μόνιμη κατάσταση.
Στην ίδια ενότητα γίνεται η μελέτη της εξαναγκασμένης ταλάντωσης χρησιμοποιώντας μιγαδικές συναρτήσεις, ορίζοντας και το μέγεθος της εμπέδησης του μηχανικού ταλαντωτή.
§4.3: Μελετώνται οι στιγμιαίες και οι μέσες τιμές των ενεργειακών μεγεθών στην μόνιμη κατάσταση.
§4.4: Περιγράφεται το σημαντικότερο φαινόμενο που προκύπτει στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, ο συντονισμός. Εξετάζεται η εξάρτηση των διαφόρων μεγεθών που χαρακτηρίζουν την εξαναγκασμένη ταλάντωση, από την συχνότητα του εξωτερικού διεγέρτη
και ο σημαντικός ρόλος της συνάρτησης Lorentz ή Breit-Wigner στην περιγραφή του συντονισμού.
§4.5: Αναλύεται η περίπτωση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης με ασθενή απόσβεση (γ<ω0) παίρνοντας υπόψιν και τα μεταβατικά φαινόμενα.
Περιγράφονται τα μεταβατικά διακροτήματα (και οι περιπτώσεις στις οποίες δεν έχουμε μεταβατικά διακροτήματα). Επίσης δίνεται η χρονική εξέλιξη των ενεργειακών μεγεθών και διερευνάται μια προσέγγιση για την ολική ενέργεια συναρτήσει του χρόνου που περιέχεται στο βιβλίο της Κυματικής του Berkeley.

§5.1: Περιγράφονται οι περιπτώσεις της εξαναγκασμένης ταλάντωσης με ισχυρή απόσβεση γ>ω0, κρίσιμη απόσβεση γ=ω0 και μηδενική απόσβεση γ=0
§5.2, §5.3: Αναλύεται η εξαναγκασμένη ταλάντωση με σταθερή διεγείρουσα δύναμη καθώς επίσης και με δύναμη που είναι μια τυχαία περιοδική συνάρτηση.
§5.4, §5.5: Γίνεται η περιγραφή της εξαναγκασμένης ταλάντωσης στην περίπτωση που δύναμη απόσβεσης είναι η τριβή ολίσθησης. Εισάγεται η έννοια του ισοδύναμου αποσβεστήρα

Εισάγοντας τις αντιστοιχίες μεταξύ μηχανικών και ηλεκτρικών μεγεθών όλες οι εξισώσεις των ηλεκτρικών ταλαντώσεων προκύπτουν με απλή αντικατάσταση στις εξισώσεις των μηχανικών ταλαντώσεων!

[Κεφάλαιο Έβδομο: ΟΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥΣ
Δεν είναι ένα επιπλέον κεφάλαιο, αλλά ένας πίνακας με όλες τις διαφορικές εξισώσεις και τις λύσεις τους, που περιέχονται στα προηγούμενα κεφάλαια.]

§8.1: Εξάγεται η ακριβής διαφορική εξίσωση του απλού εκκρεμούς και η προσέγγισή της που δίνει ως περίοδο την γνωστή εξίσωση:
§8.2: Προσδιορίζεται η ακριβής εξίσωση της περιόδου του εκκρεμούς συναρτήσει του πλάτους.
Περιγράφεται το ελλειπτικό ολοκλήρωμα πρώτου είδους (που περιέχεται στην εξίσωση της περιόδου),
οι μετασχηματισμοί Landen και η σχέση τους με τα ελλειπτικά ολοκληρώματα 1ου είδους.
Επίσης, αναλύεται η μέθοδος Gauss με την οποία μπορούμε να υπολογίζουμε, χρησιμοποιώντας έναν υπολογιστή τσέπης, την περίοδο του εκκρεμούς με όση ακρίβεια επιθυμούμε.
Στην ίδια ενότητα περιγράφονται και οι προσπάθειες κατασκευής εκκρεμούς του οποίου η περίοδος να μην εξαρτάται από το πλάτος, όπου μελετώνται οι ιδιότητες της περίφημης κυκλοειδούς καμπύλης (ισόχρονη και βραχυστόχρονη).
§8.3: Ορίζονται οι ελλειπτικές συναρτήσεις και δίνεται η ακριβής λύση της διαφορικής εξίσωσης που περιγράφει την κίνηση του απλού εκκρεμούς.
§8.4: Εφαρμόζεται η μέθοδος των διαταραχών στο απλό εκκρεμές και οι προσεγγίσεις 1ης και 2ης τάξης συγκρίνονται με πραγματικές τιμές.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ  
1.    M. Abramowitz and I. Stegun: “HANDBOOK OF MATHEMATICAL FUNCTIONS”, Dover Publications
2.    Stefen Wolfram: «Mathematica, a system for doing mathematics by computer», Addison - Wesley Publishing Co.
3.    Στέφανος Τραχανάς: «Mathematica και εφαρμογές», Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης
4.    Στέφανος Τραχανάς: «Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις», Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης
5.    F.S. Crawford, Jr.: «Μαθήματα Φυσικής του Πανεπιστημίου του Berkeley, Φυσική, τόμος 3,
 ΚΥΜΑΤΙΚΗ», Ελληνική απόδοση από το Ε.Μ.Π.
6.    Μ. Alonso, E. Finn: «Fundamental University Physics, Volume 1, Mechanics», Addison-Wisley Publishing Company
7.    H.J. Pain: «Φυσική των ταλαντώσεων και των κυμάτων», Εκδόσεις Συμμετρία
8.    Σ. Νατσιάβας: «Ταλαντώσεις μηχανικών συστημάτων», εκδόσεις ΖΗΤΗ
9.    Ε.L. Ince: «Οrdinary Differential Equations», Dover Publications
10.    M. R. Spiegel: “Schaum ’s Outline of Theory and Problems of ADVANCED CALCULUS”, McGraw-Hill, New York. (Μετάφραση: Ι. Χ. Σχοινάς)
11.    H. T. Davis: “INDRODUCTION TO NONLINEAR DIFFERENTIAL AND INTEGRAL EQUATIONS”,  Dover Publications.
12.    J. David Logan: «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά», Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
13.    Ηerbert Golstein: «Classical Mechanics», Addison-Wesley Publishing Company
14.    L.D. Landau and E. M. Lifshitz: «Mechanics», Pergamon Press
15.    A. J. Lichtenberg, M. A. Lieberman: «Regular and Stochastic Motion», Springer-Verlag
16.    Gregory L. Baker, James A. Blackburn: «Τhe Pendulum, a case study in physics», Οxford University Press.
17.    QUANTUM, Περιοδικό για τις Φυσικές Επιστήμες και τα Μαθηματικά, εκδόσεις κάτοπτρο.

Αθήνα 2006

 δείτε επίσης:
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ