Πως η κυκλοειδής καμπύλη περιγράφει την εξέλιξη του σύμπαντος

 Στο Acta Eruditorium τον Ιούνιο του 1696 (ίσως το πρώτο επιστημονικό περιοδικό) εμφανίστηκε ένα σημείωμα από τον διάσημο Ελβετό επιστήμονα Johann Bernoulli με τίτλο «Ένα νέο πρόβλημα που οι μαθηματικοί καλούνται να επιλύσουν», που το διατύπωνε ως εξής:

Έστω δυο δεδομένα σημεία Α και Γ σε ένα κατακόρυφο επίπεδο.

Να βρεθεί η καμπύλη την οποία πρέπει να διαγράψει ένα υλικό σημείο σημείο που κινείται στη διαδρομή ΑΓ υπό την επίδραση του βάρους του, έτσι ώστε, ξεκινώντας από το Α, να φτάσει στο Γ στον ελάχιστο χρόνο.

Πολλοί μαθηματικοί έλυσαν το πρόβλημα του Johann Bernoulli, όπως ο Lebniz, Jakob Bernoulli (ο αδελφός του Johann) και ίσως ίδιος ο Newton καθώς μια ανώνυμη λύση που στάλθηκε αποδίδεται σ’ αυτόν.
Όλοι κατέληγαν στο συμπέρασμα ότι η ζητούμενη «βραχυστόχρονη» είναι η κυκλοειδής καμπύλη. Η κυκλοειδής είναι η τροχιά που διαγράφει κάποιο συγκεκριμένο σημείο ενός κύκλου που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία γραμμή.

 Το όνομα της κυκλοειδούς (ως καμπύλης που σχετίζεται με τον κύκλο) εμφανίστηκε για πρώτη φορά στις εργασίες του Γαλιλαίου σαν επεξηγηματικό παράδειγμα. Την ανακάλυψαν ξανά στη Γαλλία οι Mersenne, Roberval, Descartes και Pascal και την βάφτισαν roulette.
Οι κορυφαίοι μαθηματικοί του 17ου αιώνα μελέτησαν πλήρως την κυκλοειδή καμπύλη προσδιορίζοντας τις εξισώσεις των εφαπτομένων της, τα εμβαδά των χωρίων που περικλείονται από αυτήν και τον άξονα των τετμημένων, τα μήκη των τόξων της, κ.ο.κ.
Και στη συνέχεια εμφανίστηκε άλλη μια έκπληξη. Aποδείχθηκε τελικά ότι αυτή, και όχι – όπως έγραφε ο Γαλιλαίος – κύκλος, έχει την εξής ιδιότητα: ένα σώμα που ολισθαίνει κατά μήκος της χωρίς τριβές ταλαντώνεται με περίοδο που δεν επηρεάζεται από την αρχική του θέση. Αυτή η ιδιότητα του ταυτόχρονου (ή του ισόχρονου) της κυκλοειδούς ανακαλύφθηκε από τον Huygens και προκάλεσε ενθουσιασμό. Ο ίδιος ο Huygens έγραψε ότι «η ανακάλυψη [αυτής] της ιδιότητας της κυκλοειδούς συνιστά τον πλέον ποθητό καρπό, ένα είδος αποκορυφώματος της διδασκαλίας του Γαλιλαίου για την πτώση των σωμάτων».

(Περισσότερη μαθηματική ανάλυση σχετικά με τις ιδιότητες του «βραχυστόχρονου» και του «ισόχρονου» της κυκλοειδούς καμπύλης μπορείτε να διαβάσετε ΕΔΩ)
Ο ενθουσιασμός όμως για την κυκλοειδή καμπύλη με το πέρασμα του χρόνου άρχισε να μειώνεται καθώς τελικά δεν ήταν το «εργαλείο» που θα έδινε απαντήσεις και σ’ άλλα θεμελιώδη προβλήματα της Φυσικής.
Η «απαξίωση» της κυκλοειδούς καμπύλης σήμερα είναι ακόμα μεγαλύτερη και όλο πιο σπάνια την συναντάει κανείς σε βιβλία φυσικής.

Η κυκλοειδής καμπύλη αποτελεί λύση της εξίσωσης Friedmann

Κι όμως η κυκλοειδής καμπύλη έχει περισσότερες εφαρμογές.
Και η εντυπωσιακότερη απ’ όλες να είναι το γεγονός ότι αποτελεί λύση της εξίσωσης Friedmann που περιγράφει την χρονική εξέλιξη του μεγέθους του σύμπαντος.
Η εξίσωση Friedmann προκύπτει από την επίλυση των εξισώσεων πεδίου της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας, θεωρώντας την ομογενή και ισότροπη μετρική Robertson-Walker.
Στην εξίσωση περιέχεται ο παράγοντας κλίμακας R(t), ο οποίος περιγράφει την χρονική εξέλιξη του μέγεθους του σύμπαντος ή πιο συγκεκριμένα την χρονική εξάρτηση κάθε τυπικού μήκους, όπως για παράδειγμα την απόσταση μεταξύ δυο γαλαξιών:

$ \left( \dfrac{dR}{dt} \right)^{2} = \dfrac{8}{3} \dfrac{\pi G \rho_{0}R^{2}_{0}}{R(t)}-kc^{2}$     (1)

όπου G η σταθερά της παγκόσμιας έλξης, ρ0 και R0 οι σημερινές τιμές της ενεργειακής πυκνότητας του σύμπαντος και του παράγοντα κλίμακας αντίστοιχα.
Ο γεωμετρικός παράγοντας k παίρνει τις τιμές k=0, +1 και -1, που καθορίζουν την γεωμετρία και την εξέλιξη του σύμπαντος.
Στην περίπτωση που k=+1 παρατηρούμε ότι η υπάρχει χρονική στιγμή t κατά την οποία ο παράγοντας κλίμακας R(t) εμφανίζει ένα μέγιστο.
Η μέγιστη τιμή $Rmax$ υπολογίζεται πολύ εύκολα θέτοντας στην εξίσωση Friedmann, $dR(t)/dt=0$,

$R_{max}=\dfrac{8 \pi G \rho_{0} R^{3}_{0}}{3c^{2}}$  

Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση (1) έχουμε:

$ \dfrac{dR}{dt}=c \sqrt{\dfrac{R_{max}-R(t)}{R(t)}} \Rightarrow \int_{0}^{R} \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R_{max}-R}}dR = ct$

Το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται κάνοντας τον μετασχηματισμό $R=R_{max}\sin^{2}(\theta/2)$, παίρνοντας τελικά

$t(\theta)=\dfrac{R_{max}}{2c}(\theta - \sin \theta)$ και $R(\theta)=\dfrac{R_{max}}{2}(1- \cos \theta)$

Οι δυο αυτές εξισώσεις αποτελούν την παραμετρική έκφραση της κυκλοειδούς καμπύλης που περιγράφει το κλειστό σύμπαν (k=+1).

  Στο παραπάνω σχήμα βλέπουμε την εξέλιξη του R(t) για την περίπτωση του ανοιχτού σύμπαντος (k=-1, με τιμή παραμέτρου πυκνότητας Ω0=0.5), την περίπτωση του επίπεδου (k=0 και Ω0=1) και την περίπτωση που εξετάστηκε εδώ, το κλειστό σύμπαν (k=+1, με Ω0=2).
Στην περίπτωση του κλειστού σύμπαντος το σύμπαν διαστέλλεται φθάνοντας σε μια μέγιστη «ακτίνα» Rmax και στη συνέχεια συστέλλεται μέχρι την Μεγάλη Σύνθλιψη (το αντίθετο της Μεγάλης Έκρηξης). Και η κυκλοειδής καμπύλη περιγράφει την «ακτίνα» αυτού του σύμπαντος συναρτήσει του χρόνου.

 21/01/2012

Κυκλώματα και μιγαδικοί αριθμοί

 Τα τρία βασικά στοιχεία που εμφανίζονται στα κυκλώματα εναλλασσομένου ρεύματος είναι: ο ωμικός αντιστάτης R, ο πυκνωτής χωρητικότητας C και το πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L.
Το καθένα από αυτά τα στοιχεία "δυσκολεύει" με τον δικό του τρόπο τη ροή του εναλλασσομένου ρεύματος, μια δυσκολία που εκφράζεται από την ωμική αντίσταση $R$ των αντιστατών, την χωρητική αντίσταση $ \dfrac{1}{C \omega}$ των πυκνωτών και την επαγωγική αντίσταση των πηνίων $L \omega$, όπου ω είναι η κυκλική συχνότητα του εναλλασσομένου ρεύματος (*)

Μπορούμε να μελετήσουμε πολύπλοκα ηλεκτρικά κυκλώματα εναλλασσομμένου ρεύματος, όπως το κύκλωμα του παραπάνω σχήματος, με διάφορους συνδυασμούς των τριών στοιχείων R, L και C, με το ίδιο τρόπο που θα τα μελετούσαμε αν είχαμε κύκλωμα συνεχούς ρεύματος με απλούς αντιστάτες. Aρκεί να εφαρμόσουμε την εξής αντιστοιχία όσον αφορά τις "αντιστάσεις" του κυκλώματος: $z_{R}=R $ , $ z_{L}=i\,L \omega $ και $ z_{C}=\dfrac{1}{i\,C \omega}=\dfrac{-i}{C \omega}$, όπου $ i \, (i^{2}=-1) $ η φανταστική μονάδα:

Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τρία παραδείγματα που εμφανίζονται στα σχολικά εγχειρίδια.

Α. Το κλασικό κύκλωμα R-L-C σε σειρά:

Όσον αφορά την συνολική εμπέδηση του κυκλώματος, αφού τα τρία στοιχεία συνδέονται σε σειρά έχουμε: $x z=z_{R}+z_{L}+z_{C}=R+i \, \left(L \omega - \dfrac{1}{C \omega} \right)$. Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού $latex z$ μας δίνει την γνωστή μας σχέση για την εμπέδηση του κυκλώματος R-L-C: $|z |=\sqrt{R^{2} + \left( L \omega - \dfrac{1}{C \omega} \right)^{2}}$, απ' όπου εύκολα προκύπτει η κυκλική συχνότητα $\omega_{0} = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ για την οποία η εμπέδηση του κυκλώματος γίνεται ελάχιστη και το πλάτος του ρεύματος μέγιστο (συντονισμός).

Β. Τα τρία στοιχεία R-L-C συνδέονται παράλληλα:

Εδώ η συνολική εμπέδηση του κυκλώματος θα είναι: $\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{z_{R}} + \dfrac{1}{z_{L}} + \dfrac{1}{z_{C}}$ ή σύμφωνα με τις προαναφερθείσες αντιστοιχίες: $\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{R} + i \, \left(C \omega - \dfrac{1}{L \omega} \right)$. Θεωρώντας το μέτρο των μιγαδικών αριθμών παίρνουμε την γνωστή σχέση: $ \, \, \, \, |z|= \dfrac{1}{\sqrt{ \dfrac{1}{R^{2}} + \left( L \omega - \dfrac{1}{C \omega} \right)^{2}}}$
Στην περίπτωση αυτή όταν η συχνότητα παίρνει την τιμή $\omega_{0} = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, η ολική εμπέδηση του κυκλώματος γίνεται μέγιστη και το πλάτος του ρεύματος ελάχιστο.

Γ. Τελευταίο παράδειγμα είναι η παρακάτω παράλληλη σύνδεση:

O αντιστάτης και το πηνίο συνδέονται σε σειρά, οπότε $ z_{RL}=z_{R}+z_{L}=R+iL \omega$. Η συνολική εμπέδηση θα είναι: $\dfrac{1}{z}= \dfrac{1}{z_{RL}} + \dfrac{1}{z_{C}}=\dfrac{1}{R+iL \omega} + iC \omega$ ή $ \dfrac{1}{z}=\dfrac{R}{R^{2}+L^{2} \omega^{2}} +i \left( C \omega - \dfrac{L \omega}{R^{2}+L^{2} \omega^{2}} \right)$. Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού $z$ θα μας δώσει την οικεία σχέση για την εμπέδηση του κυκλώματος: $|z|=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{R^{2}}{(R^{2}+L^{2} \omega^{2})^{2}}+ \left(C \omega - \dfrac{L \omega}{R^{2}+L^{2} \omega^{2}} \right)^{2}}}$. Παρατηρούμε ότι η ολική εμπέδηση του κυκλώματος γίνεται μέγιστη όταν $ C \omega = \dfrac{L \omega}{R^{2}+L^{2} \omega^{2}}$. Από την σχέση αυτή παίρνουμε την συχνότητα (αντι)συντονισμού για την οποία το πλάτος του ρεύματος γίνεται ελάχιστο ή την απαιτούμενη τιμή της χωρητικότητας για αυτόν τον συντονισμό: $ C=\dfrac{L}{R^{2}+L^{2} \omega^{2}}$

(*) άσκηση: Εξηγείστε ποιοτικά γιατί σε ένα κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος:
(α)
η επαγωγική αντίσταση(εμπέδηση) του πηνίου είναι ανάλογη του συντελεστή αυτεπαγωγής του, ενώ η χωρητική αντίσταση του πυκνωτή είναι αντιστρόφως ανάλογη της χωρητικότητάς του, και
(β) γιατί η επαγωγική αντίσταση (εμπέδηση) του πηνίου είναι ανάλογη της κυκλικής συχνότητας του

 20/12/2022

Μια κάποια κλιματική ευαισθησία

Ο Svante Arrhenius γύρω στο 1910

Ο Σουηδός φυσικοχημικός Svante August Arrhenius ήταν ο πρώτος που υπολόγισε την σχέση της μέσης θερμοκρασίας του πλανήτη με την συγκέντρωση του διοξειδίου του άνθρακα στην ατμόσφαιρα, στην εργασία του με τίτλο 'On the Influence of Carbonic Acid in the Air upon the Temperature of the Ground'. Στα συμπεράσματα της εργασίας του (υπερ)εκτιμά ότι ο διπλασιασμός της συγκέντρωσης του διοξειδίου του άνθρακα στην ατμόσφαιρα θα προκαλέσει μια αύξηση στην μέση θερμοκρασία της γήινης επιφάνειας κατά 5 έως 6 oC. Επιπλέον, από τους πίνακες που παραθέτει φαίνεται μια λογαριθμική σχέση μεταξύ της αύξησης θερμοκρασίας συναρτήσει της συγκέντρωσης του διοξειδίου του άνθρακα.

Η ελαφρότητα του συνόλου

Γιατί ένα σύστημα έχει μικρότερη μάζα από το άθροισμα μαζών των μεμονωμένων συστατικών του; 

Αν βάλετε σε μια ζυγαριά 10 κύβους, ο καθένας με μάζα 10g, τότε προφανώς θα διαπιστώσετε ότι η συνολική μάζα τους είναι 100g. Aν η ζυγαριά δείξει, ας πούμε, 92 g, τότε θα υποθέσετε απλά ότι ένας κύβος ή κομμάτι κύβου παράπεσε έξω από την ζυγαριά. Όμως αν πάτε στον μικρόκοσμο και ζυγίσετε π.χ. το απλούστερο άτομο στον κόσμο, ένα άτομο υδρογόνου (τα συστατικά του οποίου είναι ένα ηλεκτρόνιο και ένα πρωτόνιο), τότε θα δείτε με έκπληξη ότι η μάζα του είναι μικρότερη από το άθροισμα των μαζών του πρωτονίου και του ηλεκτρονίου σε ελεύθερη κατάσταση. Πως γίνεται το άτομο να έχει μικρότερη μάζα από τα συστατικά του;

 

Το σύστημα του ατόμου του υδρογόνου μοιάζει με το φανταστικό σύστημα μαγνητών της παραπάνω εικόνας. Οι μαγνήτες όταν είναι απομακρυσμένοι ο ένας από τον άλλον ζυγίζουν περισσότερο, παρά όταν είναι ενωμένοι μεταξύ τους ( …στην πραγματικότητα και το σύστημα των μαγνητών θα εμφανίσει έλλειμα μάζας, αλλά μη ανιχνεύσιμο από την ταπεινή ζυγαριά, οπότε στην παραπάνω εικόνα μόνο τα νούμερα είναι φανταστικά).

Η ευτυχέστερη στιγμή του Αϊνστάιν

 

Το «εύρηκα» του Αϊνστάιν: για έναν παρατηρητή σε ελεύθερη πτώση, δεν υπάρχει βαρύτητα. Καθώς ένας παρατηρητής στέκεται στο πάτωμα ενός δωματίου, δέχεται δυο δυνάμεις: η μία είναι η δύναμη του βάρους και η άλλη η δύναμη στήριξης του πατώματος στα πόδια του. Αν το πάτωμα του διαμερίσματος καταρρεύσει ο παρατηρητής γίνεται «αβαρής» – η ζυγαριά δείχνει μηδέν. Μόλις συναντήσει το δάπεδο του αμέσως από κάτω διαμερίσματος, η βαρύτητα θα επανεμφανιστεί. Εν τω μεταξύ όμως θα είναι ένας αδρανειακός παρατηρητής.

Από την απλή παρατήρηση ότι ένα άτομο που πέφτει ελεύθερα δεν αισθάνεται το βαρυτικό πεδίο προέκυψε το μεγαλύτερο άλμα στην σκέψη του Αϊνστάιν, την συνειδητοποίηση ότι η βαρύτητα μπορεί να είναι ισοδύναμη με την επιτάχυνση. Ότι η βαρύτητα επηρεάζει όλα τα σώματα με τον ίδιο τρόπο επειδή είναι μια ιδιότητα του χωροχρόνου (η καμπυλότητά του) και όχι μια δύναμη που διαδίδεται μέσω του χωροχρόνου (όπως ηλεκτρομαγνητικές ή πυρηνικές δυνάμεις). Όταν εκφράστηκε με τρόπο που είναι ξεκάθαρα ανεξάρτητος από την επιλογή των συντεταγμένων, αυτή η ιδέα εξελίχθηκε στην Γενική Θεωρία της Σχετικότητας.

Η συνάρτηση του Lev Landau

 Υπάρχουν κάποιες χαρακτηριστικές μαθηματικές συναρτήσεις που φέρουν το όνομα των φυσικών που τις ανακάλυψαν. Όπως η κλιμακωτή συνάρτηση του Heaviside που εισήχθη από τον Oliver Heaviside για να υπολογίσει το ηλεκτρικό ρεύμα όταν κλείνει ένα ηλεκτρικό κύκλωμα. Άλλο πολύ γνωστό παράδειγμα είναι η συνάρτηση Dirac (γνωστή και ως συνάρτηση δέλτα) που εισήχθη από τον Paul Dirac, έναν από τους μεγαλύτερους θεωρητικούς φυσικούς του 20ου αιώνα.
Μια λιγότερο γνωστή συνάρτηση είναι η συνάρτηση που φέρει το όνομα ενός επίσης μεγάλου φυσικού του περασμένου αιώνα, του Lev Landau.

To 1944 o Landau δημοσίευσε ένα άρθρο [On the energy loss of fast particles by ionization] σχετικά με την κατανομή της απώλειας ενέργειας φορτισμένων σωματιδίων που διασχίζουν ένα κομμάτι ύλης. Το άρθρο αυτό αποτέλεσε σημείο αναφοράς για την φυσική της αλληλεπίδρασης φορτισμένων σωματιδίων με τα ύλη, διότι ακολουθούσε τα δύο κριτήρια που χαρακτηρίζουν μια εξαιρετική θεωρητική εργασία:
• «Ο φυσικός νόμος πρέπει να έχει μαθηματική ομορφιά» (P.A.M. Dirac)
• «Όλα πρέπει να είναι όσο το δυνατόν πιο απλά, αλλά όχι απλούστατα» (Α. Αϊνστάιν).

H συνάρτηση κατανομής του Landau αναπαράγεται από το πρόγραμμα Mathematica με την εντολή LandauDistribution[μ,σ], όπου μ η παράμετρος θέσης και σ η παράμετρος κλίμακας

  Ο Landau θεώρησε σωματίδια με ταχύτητες πολύ κοντά στην ταχύτητα του φωτός (π.χ. ηλεκτρόνια) που χάνουν ενέργεια εξαιτίας του ιονισμού του μέσου που διασχίζουν. Αυτή η διαδικασία που χαρακτηρίζεται από ένα μικρό μέγεθος της απώλειας ενέργειας ανά μεμονωμένη δράση σκέδασης των ταχέων ηλεκτρονίων από τα ηλεκτρόνια της ύλης.
Υπέθεσε (για λόγους απλότητας!) ότι οι απώλειες είναι ανεξάρτητες από την ενέργεια των σωματιδίων που διασχίζουν την ύλη. Αυτή η κρίσιμη υπόθεση έδωσε ένα λαμπρό αποτέλεσμα: την συνάρτηση της κατανομής Landau, η οποία χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα στο πεδίο της αλληλεπίδρασης των ταχέων σωματιδίων με την ύλη και όχι μόνο.

Σύγκριση της γκαουσιανής κατανομής με την κατανομή Landau. To μέγιστο της συνάρτησης Landau βρίσκεται σε μικρότερη ενέργεια και παρουσιάζει μια μεγάλη ουρά προς τις υψηλότερες ενέργειες.

  Σε μια πρόσφατη δημοσίευση των Bulyak και Shul’ga παρουσιάζεται η ιστορία και η ουσία της συνάρτησης κατανομής Landau, δίνοντας έμφαση στις βασικές παραδοχές και απλοποιήσεις που επέτρεψαν την κατασκευή της. Το άρθρο ολοκληρώνεται με τις επεκτάσεις της συνάρτησης Landau.
Μπορείτε να διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες ΕΔΩ: Landau distribution of ionization losses: history, importance, extensions 

 16/9/2022

Οι άλγεβρες Lie στην Φυσική των σωματιδίων

 

Στην κλασική μηχανική του Hamilton η κατάσταση ενός δυναμικού συστήματος περιγράφεται από τις n γενικευμένες συντεταγμένες θέσης $q_{1}, q_{2}, \cdots q_{n}$ και τις n γενικευμένες ορμές $ p_{1}, p_{2}, \cdots p_{n}$. Oι συνολικά N=2n μεταβλητές ονομάζονται κανονικές μεταβλητές του συστήματος. Τα φυσικά μεγέθη όπως η ενέργεια και ορμή είναι συναρτήσεις των κανονικών μεταβλητών $ F=F(q,p)$. Aυτές οι συναρτήσεις οι οποίες ονομάζονται παρατηρήσιμα μεγέθη, αποτελούν μια άλγεβρα Lie απείρων διαστάσεων ως προς την αγκύλη Poisson: $ \{ F,G \} = \displaystyle \sum_{i=1} ^{N} \left(\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}}\right)$
H χρονική εξέλιξη οποιασδήποτε συνάρτησης $f$ (ή παρατηρήσιμου μεγέθους) καθορίζεται από την χαμιλτονιανή συνάρτηση $H$ (που γεννάει τη δράση των χρονικών μετατοπίσεων και σχετίζεται με την συνολική ενέργεια του συστήματος) σύμφωνα με την σχέση: $\dfrac{df}{dt}=\dot{f}=\{f,H \} $
Έτσι, η δυναμική του συστήματος προκύπτει από τις εξισώσεις κίνησης: $ \dot{q_{i}}= \{ q_{i} ,H \}$ και $latex \dot{p_{i}}=\{p_{i} ,H\}$, που είναι ισοδύναμες με τις γνωστές εξισώσεις $ \dot{q_{i}}=\dfrac{\partial H}{\partial p_{i}}$ και $ \dot{p_{i}}=-\dfrac{\partial H}{\partial q_{i}}$.
Όταν μια συνάρτηση $ f$ ικανοποιεί την σχέση $\{f,H \} =0$, τότε δεν μεταβάλλεται με τον χρόνο και έτσι προκύπτει μια συμμετρία του συστήματος (ή μια αρχή διατήρησης). Κι αν φτάσει κανείς σε ένα τέτοιο σημείο κατανόησης, τότε από κει και πέρα η κβάντωση ενός κλασικού συστήματος φαίνεται ως κάτι μαθηματικά προφανές, αν μεταβεί από την παραπάνω άλγεβρα Lie σε μια μοναδιαία αναπαράσταση της άλγεβρας Lie, για να καταλήξει αργότερα στο μεδούλι της θεωρητικής φυσικής των στοιχειωδών σωματιδίων.

Το ρόλο των ομάδων και αλγεβρών Lie στην φυσική εξετάζει το βιβλίο με τίτλο 'Lie Algebras In Particle Physics' που έγραψε ο γνωστός θεωρητικός φυσικός Howard Georgi και κυκλοφόρησε για πρώτη φορά το 1999. Το 2021 κυκλοφόρησε σε μορφή eBook. Το ωραίο είναι ότι μπορεί κανείς να το κατεβάσει δωρεάν σε μορφή pdf π.χ. από ΕΔΩ ή (επίσης δωρεάν) σε έκδοση Kindle από την Amazon.

Σύμφωνα με τον Georgi: Τα μαθηματικά των αλγεβρών Lie είναι ένα κόσμημα - ένας κρυστάλλινος θησαυρός παντοτινής αξίας. Η φυσική στην οποία εφαρμόζονται, δεν εμπεριέχει τόση αγνή και αιώνια ομορφιά. Στη φυσική, σε αντίθεση με τα μαθηματικά, ωθούμαστε συνεχώς προς αντίθετες κατευθύνσεις. Στον έναν πόλο, υπάρχει η ενοποίηση, η απλότητα και η κομψότητα - το πλατωνικό ιδεώδες της φύσης που δημιουργείται από (αλλά και δημιουργεί) τα μαθηματικά. Από την άλλη, υπάρχει το θαυμαστό χάος του πραγματικού κόσμου - ακατάστατο, τυχαίο και συνεχώς εξελισσόμενο με την πειραματική μας ικανότητα να διερευνούμε τον πλούτο του. Η καλή φυσική πρέπει να αγκαλιάζει αυτούς τους αντίποδες. Κι αυτό είναι που την κάνει τόσο διασκεδαστική!

19/08/2022

Μια κλασική προσέγγιση της εξίσωσης διαστολής του σύμπαντος

 Ταχύτητα διαφυγής και διαστολή του σύμπαντος

Ένα κλασικό πρόβλημα απλής φυσικής είναι ο προσδιορισμός της ταχύτητας διαφυγής υδ ενός σώματος που εκτοξεύεται από την επιφάνεια ενός σφαιρικού και ομογενούς πλανήτη (χωρίς ατμόσφαιρα). Και όταν λέμε ταχύτητα διαφυγής εννοούμε την αρχική ταχύτητα που πρέπει να δοθεί σε ένα σώμα που βρίσκεται στην επιφάνεια του πλανήτη, έτσι ώστε να φτάσει σε άπειρη απόσταση με ταχύτητα ίση με το μηδέν (ακριβώς!). Δηλαδή να διαφύγει οριακά από το πεδίο βαρύτητας του πλανήτη.

Η εκδίκηση (της αρχής αβεβαιότητας) του Χάιζενμπεργκ

 Την άνοιξη του 1923, ο Βέρνερ Χάιζενμπεργκ επέστρεφε στο Μόναχο από το Γκέτιγκεν προκειμένου να ολοκληρώσει τη διδακτορική του διατριβή: είχε ακολουθήσει ένα ερευνητικό πρόγραμμα στη μαθηματική ρευστοδυναμική (ο τίτλος της διατριβής του είναι "Περί ευστάθειας και τύρβης υγρών ρευμάτων - διαβάστε σχετικά: 'Η διδακτορική διατριβή του Χάιζενμπεργκ'), που δεν είχε σχέση με την κβαντική θεωρία, όμως αποτελούσε αξιόλογο θέμα.

Όταν η συνισταμένη δύναμη είναι ανάλογη με την απομάκρυνση στον κύβο

 Τι συμβαίνει όταν η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα δεν είναι απλά ανάλογη με την απομάκρυνση, όπως στην απλή αρμονική ταλάντωση, αλλά ανάλογη με την απομάκρυνση υψωμένη στην τρίτη δύναμη; Υπάρχει κάποιο φυσικό σύστημα που να συμπεριφέρεται με τον συγκεκριμένο τρόπο; 

Με πολύ καλή προσέγγιση μπορούμε να πούμε ό,τι παρόμοια ταλαντωτική συμπεριφορά εμφανίζει το σύστημα του παρακάτω σχήματος:

Δύο όμοια ελατήρια με σταθερά ελαστικότητας $ k$ και φυσικό μήκος $ \ell_{0}$ έχουν ακλόνητο το ένα άκρο τους, ενώ στο άλλο άκρο τους είναι δεμένη μια μάζα $ m$. Αρχικά, όταν οι άξονες των δυο ελατηρίων βρίσκονται στην ίδια ευθεία χχ', τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος και η μάζα ισορροπεί. Το όλο σύστημα βρίσκετια σε οριζόντιο επίπεδο και δεν υπάρχουν τριβές. 

Το βαρυτικό ανάλογο του ατόμου του υδρογόνου

 H "Εισαγωγή στην Κβαντική Μηχανική" του David J. Griffiths στην σελίδα 144 περιέχει μια άσκηση (την 4.16), όπου εξετάζεται το σύστημα Γης-Ήλιου ως ένα βαρυτικό ανάλογο του ατόμου του υδρογόνου.

 Η δυναμική ενέργεια στο άτομο του υδρογόνου είναι $ U(r) = -ke^{2}/r $ και με δεδομένο ότι η δύναμη Coulomb μεταξύ ηλεκτρονίου-πρωτονίου παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου δύναμης, παίρνουμε την κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου: $ mv^2/r = ke^{2}/r^2 \Rightarrow K={ke^{2}/2r} $. Έτσι, η ολική ενέργεια του συστήματος είναι: $ E = K + U =-ke^{2}/2r $. 

Διακροτήματα και αρχή της αβεβαιότητας

 Από την σύνθεση δυο αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, με το ίδιο πλάτος Α, αλλά διαφορετικές συχνότητες $ f_{1}$ και $ f_{2}<f_{1}$ , προκύπτει μια ιδιόμορφη κίνηση που παρουσιάζει διακροτήματα:

Παρατηρούμε ότι το πλάτος της σύνθετης κίνησης μεταβάλλεται με αργό ρυθμό. Ο χρόνος ανάμεσα σε δυο διαδοχικούς μηδενισμούς (ή δυο διαδοχικές μεγιστοποιήσεις) του πλάτους ονομάζεται περίοδος του διακροτήματος.