Η καμπύλη του συντονισμού και ο χρόνος ζωής των σωματιδίων

 Πως η αβεβαιότητα στην ενέργεια ενός σωματιδίου προσδιορίζει με εξαιρετική ακρίβεια τον χρόνο ζωής ασταθών σωματιδίων

Υπάρχουν σωματίδια που ζουν αιώνια ή για να το πούμε διαφορετικά, ο χρόνος ζωής τους είναι μεγαλύτερος από την ηλικία του σύμπαντος, όπως για παράδειγμα τα πρωτόνια, τα ηλεκτρόνια, τα νετρίνα και τα φωτόνια. Όμως, υπάρχουν και σωματίδια τα οποία όπως και οι άνθρωποι, έχουν πεπερασμένο χρόνο ζωής. Πολλά από αυτά πεθαίνουν σχεδόν αμέσως αφού παραχθούν. Για παράδειγμα, ένα ελεύθερο νετρόνιο ζεί περίπου 15 λεπτά, ένα μιόνιο 2,2 εκατομμυριοστά του δευτερολέπτου, το διάσημο σωματίδιο Higgs ζει λιγότερο από ένα τρισεκατομμυριοστό του δισεκατομμυριοστού του δευτερολέπτου ή 1,6×10^-22 δευτερόλεπτα, ενώ τα  μποζόνια W⁺, W⁻ και Z⁰ ζουν ακόμα λιγότερο, γύρω στα 10⁻²⁵ δευτερόλεπτα.

 Ένας αναπάντεχος τρόπος για να υπολογίσουμε τον χρόνο ζωής των ασταθών σωματιδίων είναι διαμέσου της κβαντομηχανικής σχέσης: $\Delta E \cdot \Delta t \geq \dfrac{\hbar}{2}$. Η σχέση αυτή αποκαλείται συχνά "σχέση αβεβαιότητας ενέργειας-χρόνου", ένα παραπλανητικό όνομα, διότι ανακαλεί αδόκιμα την θεμελιώδη κβαντομηχανική σχέση αβεβαιότητας θέσης-ορμής $ \Delta p \cdot \Delta t \geq \dfrac{\hbar}{2}$. Όμως, η σύγκριση είναι άστοχη, εφόσον ο χρόνος δεν είναι παρατηρήσιμο μέγεθος προσαρτημένο σε ένα σωματίδιο. Το νόημα της σχέσης αυτής εξαρτάται από το είδος της μέτρησης που μας ενδιαφέρει. Μια πιο σωστή γραφή της σχέσης αυτής θα ήταν $ \Delta E \cdot T \geq \dfrac{\hbar}{2}$ , όπου το Τ συμβολίζει τον χαρακτηριστικό χρόνο μέσα στον οποίο η ενέργεια του κβαντικού συστήματος αλλάζει αξιόλογα.

Παραδείγματος χάριν, για ένα άτομο στη θεμελιώδη κατάσταση, το Τ είναι απεριόριστα μεγάλο και η ενέργεια προσδιορίσιμη σχεδόν με όση ακρίβεια θέλουμε. Όπως ακριβώς και με σωματίδια όπως τα πρωτόνια και τα ηλεκτρόνια, που έχουν μέση διάρκεια ζωής πρακτικά άπειρη και διαθέτουμε όλο το χρόνο για να εκτελέσουμε άμεσα αναρίθμητες μετρήσεις της μάζας τους (ισοδύναμα, της ενέργειας E=mc²) και να προκυψουν τιμές με εξαιρετική ακρίβεια. Η απροσδιοριστία στην ενέργεια (μάζα) που προέρχεται από την σχέση του Heisenberg θα φαίνεται αμελητέα.

Αν αντίθετα πρόκειται για ασταθή σωματίδια με πολύ σύντομη μέση διάρκεια ζωής, η μάζα (ενέργεια) τους δεν μπορεί να μετρηθεί άμεσα, διότι ο χρόνος που διαθέτουμε είναι πολύ περιορισμένος. Μπορούμε ωστόσο να μετρήσουμε την ενέργεια των προϊόντων διάσπασης και να βρούμε έτσι τη μάζα του μητρικού σωματιδίου. Το αξιοπρόσεκτο είναι ότι, ακόμα κι αν είχαμε απεριόριστη πειραματική ακρίβεια, κάθε μέτρηση θα έδινε ελαφρώς διαφορετικά αποτελέσματα. Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι στους απειροελάχιστους χρόνους της σύντομης ζωής του αυτό που 'ταλαντώνεται' είναι η ενέργεια του μητρικού σωματιδίου.

Μια καμπύλη συντονισμού

Μπορεί να ακούγεται περίεργα, αλλά η αρχή της αβεβαιότητας αποτελεί εργαλείο για τον ακριβή προσδιορισμό του πολύ μικρού χρόνου ζωής βαρέων σωματιδίων που παράγονται σε συγκρούσεις υψηλής ενέργειας επιταχυντών. Η σχέση αβεβαιότητας ενέργειας-χρόνου στη μορφή $\Delta E \cdot T \cong \hbar/2 $, υποδηλώνει ότι για σωματίδια με εξαιρετικά μικρή διάρκεια ζωής, θα υπάρχει σημαντική αβεβαιότητα στη μετρούμενη ενέργεια (μάζα). Έτσι, για ένα σωματίδιο που έχει πεπερασμένη διάρκεια ζωής, η αρχή της αβεβαιότητας θέτει ένα θεμελιώδες όριο στη γνώση της ενέργειάς του για κάθε δεδομένη μέτρηση. Αυτό δεν σημαίνει ότι δεν μπορούμε να μετρήσουμε την ενέργεια με πολύ μεγάλη ακρίβεια. Μπορούμε να το κάνουμε μετρώντας την ενέργεια πολλές φορές και λαμβάνοντας την μέση τιμή.
Κι όταν ανασυνθέσουμε την τιμή της μάζας (ενέργειας) του αρχικού ασταθούς σωματιδίου, θα βρούμε μια κωδωνοειδή κατανομή πιθανοτήτων, που ονομάζεται καμπύλη συντονισμού ή κατανομή Lorentzian ή Breit-Wigner:

Οι μετρήσεις της ενέργειας (E₀) ενός ασταθούς σωματιδίου καθορίζουν μια κατανομή ενέργειας (natural line shape) που ονομάζεται Breit-Wigner ή Lorentzian

Η κορυφή της καμπύλης αντιστοιχεί στην κεντρική τιμή της μάζας και όσο πιο σύντομη είναι η μέση διάρκεια ζωής του σωματιδίου, τόσο αυξάνεται το εύρος της. Κι εδώ κρύβεται το ιδιοφυές κόλπο.

Aν συμβολίσουμε με Γ το πλήρες πλάτος της κατανομής ενέργειας στο ήμισυ της μέγιστης τιμής της (FWHM=Full Width at Half Maximum), η αβεβαιότητα στην ενέργεια εκφράζεται εύλογα ως $\Delta E = \Gamma/2 $ και η εξίσωση της αβεβαιότητας που συσχετίζει την μέση διάρκεια ζωής σωματιδίου Τ με το εύρος Γ της κατανομής ενέργειας γράφεται ως $\Gamma \cdot T = \hbar $.
Αν μετρήσουμε το εύρος Γ της κατανομής, εύκολα υπολογίζουμε τον χρόνο ζωής Τ του σωματιδίου.

Το Γ αναφέρεται συχνά ως "φυσικό πλάτος γραμμής (natural line width)". Είναι ένα πολύ σημαντικό μέγεθος στη φυσική των επιταχυντών υψηλής ενέργειας και ο υπολογισμός του από την ανάλυση των πειραμαματικών δεδομένων προσδιορίζει, διαμέσου την σχέσης αβεβαιότητας (Γ∙Τ=h/2π), τους εξαιρετικά μικρούς χρόνους ζωής των παραγόμενων σωματιδίων.

Η σχέση μεταξύ του εύρους Γ (FWHM) και χρόνου ζωής Τ ασταθών σωματιδίων από τον μακρόβιο πυρήνα ²³²Th (που εκπέμπει α σωματίδα) μέχρι το μποζόνιο Ζ⁰ που έχει απειροελέχιστο χρόνο ζωής καθορίζεται από την εξίσωση Γ∙Τ=h/2π

Έτσι λοιπόν, η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg , που φαίνεται να περιορίζει την ικανότητά μας να μετράμε, μετατρέπεται τελικά σε ένα κόλπο για να συλλάβουμε τους απειροελάχιστους χρόνους της ζωής ασταθών σωματιδίων.

Bιβλιογραφία:
1. "Μodern Physics from a to Z⁰" , James William Rohlf - John Wiley & Sons
2. "H προέλευση της μάζας", Γιάννης Ηλιόπουλος, ΠΕΚ
3. "Χρόνος (Από τον μύθο του Κρόνου στο CERN)", Guido Tonelli - εκδόσεις διόπτρα
4. Particle lifetimes from the uncertainty principle - http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/parlif.html

4/9/2023

Ο θόλος του Norton: Η απροσδιοριστία στη νευτώνεια φυσική;

 

Θα εκτελέσουμε - επιστρατεύοντας την φαντασία μας - το εξής πείραμα: Ισορροπούμε στην κορυφή ενός ημισφαιρικού λείου θόλου μια σημειακή μάζα. Δεν υπάρχει αέρας ή κάποια άλλη αιτία που θα μπορούσε να ασκήσει κάποια επιπλέον δύναμη. Σε μια τέτοια περίπτωση η φυσική διαίσθηση μας λέει ότι, όσο κι αν περιμένουμε η μάζα θα περαμένει ακίνητη στην κορυφή. Και πράγματι αυτό συμβαίνει.
Στο ίδιο συμπέρασμα θα καταλήξουμε αν εφαρμόσουμε τους νόμους της κλασσικής νευτώνειας φυσικής. Έτσι, αν το σημειακό σωματίδιο μάζας m γλιστρά πάνω στην ημισφαιρική επιφάνεια η εξίσωση της θέσης του $\vec{r}=\vec{r}(t)$ ικανοποιεί την εξίσωση: $\vec{F}=m \dfrac{d^{2} \vec{r}}{dr^{2}}$, όπου $\vec{F}(\vec{r})$ είναι η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο. Αν όμως θεωρήσουμε ως αρχικές συνθήκες τις, $\vec{r}(0)=0$ και $\vec{v}(0)=0$, και κάνουμε τα μαθηματικά, τότε η διαφορική εξίσωση του Νεύτωνα μας δίνει την τετριμμένη λύση: $r(t)=0$. Ότι δηλαδή το σωματίδιο θα παραμένει ακίνητο στην κορυφή του ημισφαιρικού θόλου "εις τους αιώνας των αιώνων. Αμήν".

Η μάζα του σωματιδίου ταυ και η μυστηριώδης εξίσωση του Koide

Η μάζα του λεπτονίου ταυ μετρήθηκε πρόσφατα από το πείραμα Belle II με εξαιρετική ακρίβεια. Άραγε, η νέα μέτρηση ενισχύει την πίστη στην περιβόητη εξίσωση του Koide;

 Το πείραμα Belle II πραγματοποίησε την ακριβέστερη μέχρι σήμερα μέτρηση της μάζας του λεπτονίου τ. Στην δημοσίευση με τίτλο «Measurement of the τ-lepton mass with the Belle~II experiment» παρουσιάζεται μια μέτρηση της μάζας λεπτονίου τ που βασίστηκε σε ένα σύνολο περίπου 175 εκατομμυρίων γεγονότων της αντίδρασης e⁺e⁻→τ⁺τ⁻ που συλλέχθηκαν με τον ανιχνευτή Belle II στον επιταχυντή SuperKEKB όπου πραγματοποιήθηκαν οι συγκρούσεις e⁺e⁻ σε ενέργεια κέντρου μάζας 10,579 GeV. Η μάζα του λεπτονίου τ που μετρήθηκε είναι: m_τ = 1777,09 ± 0,08 ± 0,11 MeV/c² όπου το πρώτο σφάλμα είναι το στατιστικό και το δεύτερο το συστηματικό. Επομένως, m_τ =1777,09 ± 0,14 MeV/c².

Το Καθιερωμένο Πρότυπο των στοιχειωδών σωματιδίων, μια μάλλον άσχημη θεωρία, περιγράφει με καλή προσέγγιση μέσα σε ορισμένα όρια, τις ιδιότητες και τις αλληλεπιδράσεις των θεμελιωδών σωματιδίων διαμέσου των ηλεκτρομαγνητικών, ασθενών πυρηνικών και ισχυρών πυρηνικών δυνάμεων.

Σύμφωνα με το Καθιερωμένο Πρότυπο, υπάρχουν δώδεκα διαφορετικοί τύποι στοιχειωδών σωματιδίων: έξι κουάρκ και έξι λεπτόνια. Παρά τις επιτυχίες του, το Καθιερωμένο Πρότυπο δεν είναι πλήρες, καθώς δεν εξηγεί την βαρυτική αλληλεπίδραση, ούτε την σκοτεινή ύλη ή την σκοτεινή ενέργεια, που πιστεύεται ότι αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος της ύλης και της ενέργειας στο σύμπαν.
Οι έξι γνωστοί τύποι λεπτονίων διατάσσονται σε τρεις γενιές ή «γεύσεις»: το ηλεκτρόνιο και το νετρίνο του ηλεκτρονίoυ, το μιόνιο και το νετρίνο του μιονίου και το ταυ με το νετρίνο του ταυ:

Το ηλεκτρόνιο, το μιόνιο και το ταυ φέρουν ηλεκτρικό φορτίο, ενώ τα αντίστοιχα νετρίνα, όπως υποδηλώνει το όνομά τους, είναι ηλεκτρικά ουδέτερα. Το λεπτόνιο ταυ ανακαλύφθηκε από μια σειρά πειραμάτων μεταξύ 1974 και 1977 στο ερευνητικό κέντρο SLAC στις Ηνωμένες Πολιτείες. Οι φυσικοί μελετούν τις ιδιότητές του εδώ και δεκαετίες ώστε να κατανοήσουν καλύτερα τη συμπεριφορά του. Το λεπτόνιο τ είναι παρόμοιο με τα άλλα δύο φορτισμένα λεπτόνια, αλλά είναι πολύ βαρύτερο – περίπου 3.477 βαρύτερο από το ηλεκτρόνιο και περίπου 17 φορές βαρύτερο από το μιόνιο. Ωστόσο, σε αντίθεση με τα ελαφρύτερα ξαδέρφια του (ηλεκτρόνιο και μιόνιο), κάποιες ιδιότητες του λεπτονίου τ, όπως η μάζα του, δεν έχουν ακόμη μετρηθεί με μεγάλη ακρίβεια.

Οι ιδιότητες του ταυ είναι πολύ πιο δύσκολο να μελετηθούν από εκείνες του ηλεκτρονίου και του μιονίου, επειδή το σωματίδιο τ έχει μικρό χρόνο ζωής. Ενώ τα ηλεκτρόνια είναι σταθερά σωματίδια, η διάρκεια ζωής του μιονίου είναι περίπου 2 εκατομμυριοστά του δευτερολέπτου και η διάρκεια ζωής του ταυ είναι μικρότερη κατά 10 εκατομμύρια φορές! Σε περίπου 2,9×10^-13 δευτερόλεπτα, το λεπτόνιο ταυ διασπάται σε ένα μποζόνιο W και ένα νετρίνο του ταυ.

Το μποζόνιο W, με τη σειρά του, μεταπίπτει είτε προς σε ένα ζεύγος κουάρκ – το οποίο δεν μπορεί να υπάρξει μεμονωμένα, αλλά πρέπει πάντα να συζευχθεί με άλλα κουάρκ για να σχηματίσει σύνθετα σωματίδια όπως τα μεσόνια – είτε προς ένα ζεύγος λεπτονίων – ένα ηλεκτρόνιο και ένα νετρίνο του ηλεκτρονίου ή ένα μιόνιο και ένα νετρίνο μιονίου. Υπάρχουν πάντα νετρίνα που εμπλέκονται στις διασπάσεις του σωματιδίου τ που όμως είναι αδύνατον να ανιχνευθούν με την τρέχουσα τεχνολογία. Για τους φυσικούς αυτό σημαίνει ότι μπορούν να πάρουν πληροφορίες για το σωματιδιο τ μόνο από ένα υποσύνολο των προϊόντων της διάσπασης. Έτσι, η μελέτη των ιδιοτήτων του λεπτονίου ταυ αποτελεί μια πρόκληση για τους φυσικούς των σωματιδίων. Ωστόσο, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τις ιδιότητες του σωματιδίου τ, όπως η μάζα, με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια για τον έλεγχο του Καθιερωμένου Προτύπου αλλά και την αναζήτηση ενδείξεων νέας φυσικής πέρα από αυτό.

Για παράδειγμα, υπάρχει μια προβλεπόμενη σχέση μεταξύ του ρυθμού διάσπασης του σωματιδίου τ προς ένα ελαφρύτερο λεπτόνιο και του χρόνου ζωής του για μια δεδομένη μετρούμενη μάζα ταυ. Αυτή η σχέση είναι πολύ ευαίσθητη στην τιμή της μάζας του. Χρησιμοποιώντας την μέση τιμή των μετρήσεων της μάζας του ταυ, 1776,86 ± 0,12 MeV/c², από τα παλαιότερα πειράματα έως το 2022, οι φυσικοί βρίσκουν μια μικρή διαφορά σε σχέση με τη νέα μετρηθείσα τιμή. Αν αυτή η τάση αυξηθεί με πιο ακριβείς μετρήσεις, αυτό θα μπορούσε να σηματοδοτήσει την εμφάνιση νέας φυσικής πέραν του Καθιερωμένου Προτύπου.

Για την νέα μέτρηση της μάζας του σωματιδίου τ, οι φυσικοί μελέτησαν τις διασπάσεις του προς τρία πιόνια και ένα νετρίνο του ταυ. Έτσι προέκυψε η τιμή m_τ = 1777,09 ± 0,08 ± 0,11 MeV/c². Αυτή η μέτρηση εμφανίζει το μικρότερο σφάλμα από όλες τις προηγούμενες μετρήσεις.

Η μυστηριώδης εξίσωση του Koide

Το 1981 ο Yoshio Koide ανακάλυψε μια ανεξήγητη εμπειρική εξίσωση που συνδέει τις μάζες των τριών λεπτονίων, του ηλεκτρονίου, του μιονίου και του ταυ, ως εξής:

 $Q=\frac{m_{e} + m_{\mu} + m_{\tau}}{(\sqrt{m_{e}} + \sqrt{m_{\mu}} +\sqrt{m_{\tau}})^{2}} =0,666661(7) \cong \frac{2}{3} $, όπου m_e = 0.510998946(3) MeV/c², m_μ = 105.6583745(24) MeV/c², και m_τ = 1776.86(12) MeV/c² (η αποδεκτή τιμή της μάζας του τ μέχρι το 2022).

Ας σημειωθεί ότι αν α, b και c τρεις τυχαίοι θετικοί αριθμοί, τότε η ποσότητα $Q= \frac{a + b + c}{(\sqrt{a} + \sqrt{b} +\sqrt{c})^{2}} $ παίρνει τιμές στο εύρος: $ \frac{1}{3} \leq Q \leq 1$.

Παρατηρείστε ότι όταν χρησιμοποιούμε τις μάζες των τριών λεπτονίων προκύπτει η τιμή τιμή 2/3 που είναι ο μέσος όρος των ακραίων τιμών της ποσότητας Q.

Τελικά η νέα μέτρηση ενισχύει την πίστη στην περιβόητη εξίσωση του Koide;

Xρησιμοποιώντας στην σχέση Koide την νέα μέτρηση μάζας m_τ = 1777,09 (μαζί με τις m_e = 0.510998946 και m_μ = 105.6583745) παίρνουμε: Q=0,666673. Αυτή η τιμή είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη, και απομακρύνεται από την αναμενόμενη κατά Koide τιμή Q = 2/3.

Προς το παρόν λοιπόν η νέα μέτρηση της μάζας του σωματιδίου ταυ κλονίζει την ισχύ της εξίσωσης Koide, χωρίς όμως να την αποκλείει εντελώς, εξαιτίας του μικρότερου μεν αλλά αρκετά μεγάλου σφάλματος. Έτσι, δεδομένου ότι m_τ =1777,09 ± 0,14, το κάτω όριο της μάζας m_τ=1777,09-0,14=1776,95, δίνει την τιμή Q=0,666666 !!

Πάντως, το πιο πιθανό είναι η σχέση Koide να είναι μια σύμπτωση, όπως για παράδειγμα το γεγονός ότι ο λόγος των μαζών πρωτονίου–ηλεκτρονίου ισούται με 6π⁵. Υπενθυμίζεται ότι το 2018 Yoshio Koide στην δημοσίευσή του «What Physics Does The Charged Lepton Mass Relation Tell Us?» , παραθέτει κάποιες νεότερες σκέψεις για την εξίσωσή του. 

πηγές:
1. Τau lepton mass is measured at Belle II with the highest precision to date
2. Η σχέση Koide: μια μυστηριώδης εμπειρική εξίσωση

 3/7/2023

Ο «αιώνιος γυρισμός» του Νίτσε και το «θεώρημα επανάληψης» του Πουανκαρέ

Γράφει ο Νίκος Καζαντζάκης στην «Αναφορά στον Γκρέκο», συνεπαρμένος από την φιλοσοφία του Γερμανού φιλοσόφου Φρήντριχ Νίτσε:

 «….o χρόνος, συλλογίστηκες είναι απεριόριστος˙ η ύλη είναι περιορισμένη˙ αναγκαστικά λοιπόν θα ’ρθει πάλι στιγμή που όλοι ετούτοι οι συνδυασμοί της ύλης θα ξαναγεννηθούν οι ίδιοι, οι απαράλλαχτοι. Ύστερα από χιλιάδες αιώνες ένας άνθρωπος σαν και μένα, εγώ ο ίδιος, θα σταθώ πάλι στο βράχο τούτον τον ίδιο και θα ξανάβρω την ίδια ιδέα. Κι όχι μονάχα μια φορά, αναρίθμητες φορές˙ καμιά λοιπόν ελπίδα το μελλούμενο να ’ναι καλύτερο, καμιά σωτηρία˙ πάντα οι ίδιοι, απαράλλαχτοι, θα στριφογυρίζουμε στον τροχό του χρόνου. Και τα πιο εφήμερα καταντούν έτσι αιώνια, κι η πιο ασήμαντη πράξη παίρνει ανυπολόγιστη πια σημασία…..«

H έννοια του «αιώνιου γυρισμού» ή «αιώνιας επιστροφής» του Νίτσε εμφανίζεται για πρώτη φορά στον αφορισμό 341 της “Χαρούμενης Επιστήμης” ως ένα υποθετικό ερώτημα:
«Το πιο βαρύ βάρος 
Κι αν μια μέρα ή μια νύχτα, ερχόταν ένας δαίμονας και γλιστρούσε μέσα στην υπέρτατη μοναξιά σου και σούλεγε: «Αυτή τη ζωή, όπως την έζησες και την ζεις ως τα τώρα, πρέπει να την ξαναρχίσεις από την αρχή, και να την ξαναρχίζεις αδιάκοπα˙ χωρίς τίποτα το καινούργιο˙ αντίθετα, μάλιστα! Ο παραμικρός πόνος, η παραμικρή ευχαρίστηση, η παραμικρή σκέψη, ο παραμικρός στεναγμός, όλα όσα ένιωσες στη ζωή σου θα ξαναρθούν, κάθε τι το άρρητα μεγάλο και το άρρητα μικρό που έχει μέσα της, όλα θα ξαναρθούν, και θα ξαναρθούν με την ίδια σειρά, με την ίδια ανελέητη διαδοχή…. κι αυτή η αράχνη θα ξαναρθεί, κι αυτό το σεληνόφωτο ανάμεσα στα δέντρα, κι αυτή η στιγμή, κι εγώ ο ίδιος! Η αιώνια κλεψύδρα της ζωής θα ξαναγυρίζει ακατάπαυστα, κι εσύ μαζί της, απειροελάχιστη σκόνη των σκονών!»… Δεν θάπεφτες κατάχαμα, δεν θάτριζες τα δόντια σου και δεν θα καταριώσουν αυτό το δαίμονα; Εκτός πια, αν έχεις ζήσει κάποια θαυμαστή στιγμή, οπότε θα του απαντούσες: «Είσαι θεός˙ ποτές μου δεν άκουσα τόσο θείο λόγο!»

Φρήντριχ Νίτσε 1844 – 1900

Κι αν σου γινόταν έμμονη αυτή η σκέψη, ίσως θα σε μεταμόρφωνε, κι ίσως και να σ’ εκμηδένιζε˙ και θ’ αναρωτιώσουν για το κάθε τι: «Το θέλεις αυτό; το ξαναθέλεις; μια φορά; πάντα; επ’ άπειρον;» κι αυτό το ερώτημα θα βάραινε επάνω σου με αποφασιστικό και τρομερό βάρος! Ή πάλι, Άχ πόσο θάπρεπε ν’ αγαπάς τον εαυτό σου και τη ζωή, ώστε να μην ποθείς πια τίποτ’ άλλο απ’ αυτή την υπέρτατη κι αιώνια διαβεβαίωση!«

Ο Νίτσε αφιέρωσε αρκετά χρόνια μελετώντας την φυσική επιστήμη της εποχής του για να έχουν επιστημονικό υπόβαθρο οι φιλοσοφικές του ιδέες.
Η επιστημονική βάση του «αιώνιου γυρισμού» είναι ένα «αληθές» θεώρημα του Γάλλου μαθηματικού Henri Poincaré  το «θεώρημα επανάληψης» σύμφωνα με το οποίο:
«Ένα σύστημα πεπερασμένης ενέργειας, περιορισμένο σε έναν πεπερασμένο όγκο, μετά από ένα αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα, επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση».

Henri Poincaré 1854 -1912

Κατά συνέπεια εφόσον ο αριθμός των συστατικών του σύμπαντος είναι πεπερασμένος, μπορεί να σχηματίσει πεπερασμένο μόνον πλήθος διαφορετικών συνδυασμών. Αφού σχηματιστούν όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί, τα συστατικά του σύμπαντος επιστρέφουν «αναγκαστικά» κάποτε στην αρχική τους κατάσταση. Και αυτό συμβαίνει άπειρες φορές, εφόσον έχουμε στη διάθεσή μας άπειρο χρόνο…

Το θεώρημα φαίνεται εκ πρώτης όψεως ότι αντιφάσκει με το θεώρημα Η του Boltzmann, αν θεωρήσουμε ότι η σχέση του θεωρήματος dH/dt≤0 ισχύει σε κάθε χρονική στιγμή. Δεδομένου όμως ότι αυτό δεν είναι απαίτηση του θεωρήματος Η – δεν υφίσταται κανένα παράδοξο.(Το μέγεθος Η συνδέεται άμεσα με την εντροπία S του συστήματος, το μέγεθος που μετράει την αταξία του συστήματος)
Ένα σύστημα θα μπορούσε να επιστρέψει στην αρχική του κατάσταση – σύμφωνα με το θεώρημα Poincaré – χωρίς να παραβιάζεται ο 2ος νόμος της θερμοδυναμικής.
Μια πρόχειρη εκτίμηση δείχνει ότι η διάρκεια ενός κύκλου Poincaré είναι της τάξης του e^N, όπου Ν είναι ο συνολικός αριθμός των μορίων του συστήματος.
Έστω ότι N~10²³, τότε η χρονική διάρκεια ενός κύκλου Poincaré είναι εξαιρετικά μεγάλη:10¹⁰²³sec ή 10¹⁰²³ηλικίες σύμπαντος (θεωρούμε ότι η ηλικία του σύμπαντος είναι της τάξης ~10¹⁰ έτη).
Αυτός είναι ο χρόνος που απαιτείται για να επιστρέψει το σύστημα στην αρχική του κατάσταση – χωρίς αυτό να σημαίνει ότι ο νέος κύκλος που θα ακολουθήσει θα είναι πανομοιότυπος με τον προηγούμενο!
Είναι φανερό ότι οι χρόνοι αυτοί δεν έχουν σχέση με φυσική!

ΠΗΓΕΣ
1. "Αναφορά στον Γκρέκο", Νίκος Καζατζάκης
2. "Χαρούμενη Επιστήμη", Friedrich Nietzsche
3. "Statistical Mechanics", Κerson Huang

 5/6/2011

Το υδρογόνο, αν του δοθεί αρκετός χρόνος, μετατρέπεται σε ανθρώπους

 Ως «χλωμή μπλε κουκκίδα» αναφέρεται η φωτογραφία της Γης που τραβήχτηκε πριν από 33 χρόνια, στις 6 Ιουνίου 1990, από το Voyager 1, όταν αυτό απείχε από την Γη απόσταση 6,5 δισεκατομμύρια χιλιόμετρα:

Η Γη φαίνεται στην φωτογραφία ως μια χλωμή κουκκίδα

Βλέποντας αυτή τη φωτογραφία συνειδητοποιούμε την ασημαντότητα της Γης μέσα σε ένα ιλλιγιωδώς τεράστιο και διαστελλόμενο σύμπαν. Γινόμαστε περισσότερο ταπεινοί και λιγότερο αλαζόνες. Σ’ αυτό το τρομακτικό σύμπαν με ~10¹² γαλαξίες, ~10²⁴ άστρα και  ~10²⁵ πλανήτες, υπάρχει (τουλάχιστον) μια μηδαμινά ελάχιστη κουκκίδα όπου η ύλη απέκτησε αυτεπίγνωση και γεννήθηκε η συνείδηση της συνείδησης. Επιβεβαιώνοντας αυτό που είχε πει κάποτε ο αστρονόμος-κοσμολόγος Edward Robert Harrison, ότι το υδρογόνο, αν του δοθεί αρκετός χρόνος, μετατρέπεται σε ανθρώπους.

Μπορεί να ακούγεται υπερβολικό, αλλά πίσω από την φράση αυτή κρύβεται όλη η κοσμολογική εξέλιξη, αν πάρουμε τα πράγματα από την αρχή. Όχι εντελώς από την αρχή, αλλά λίγα λεπτά μετά την Μεγάλη Έκρηξη αφότου σχηματίστηκε το υδρογόνο και έκτοτε κατακλύζει ολόκληρο το σύμπαν. Από εκεί και πέρα το μόνο που χρειάζεται είναι υπομονή!

Η βαρυτική έλξη σε ένα νέφος υδρογόνου θα δημιουργήσει τις πρώτες συμπυκνώσεις, από τις οποίες ξεκινά η δημιουργία άστρων. Όταν το νέφος, κυρίως από υδρογόνο, γίνει αρκετά πυκνό αρχίζουν οι πυρηνικές αντιδράσεις, και το υδρογόνο μετατρέπεται σε ήλιο διαμέσου της πυρηνικής σύντηξης. Το άστρο στη συνέχεια μετατρέπεται σε ερυθρό γίγαντα, στο εσωτερικό του οποίου το ήλιο μετατρέπεται σε άνθρακα. Ο άνθρακας με τη σειρά του μετατρέπεται σε οξυγόνο και άλλα βαρύτερα στοιχεία μέχρι τον σίδηρο. Κάπου εκεί σταματάνε οι πυρηνικές αντιδράσεις και το άστρο καταρρέει βαρυτικά για να μετατραπεί σε σουπερνόβα. Τότε εκτινάσσονται στο διάστημα τεράστιες ποσότητες των στοιχείων που ήδη σχηματίστηκαν και ταυτόχρονα συντίθενται όλα τα βαρύτερα στοιχεία του περιοδικού πίνακα μέχρι το ουράνιο κι ακόμη πιο πέρα.

 Από αυτά τα στοιχεία σχηματίστηκε η Γη πάνω στην οποία αναπτύχθηκαν οι κατάλληλες συνθήκες ώστε σύμφωνα με τον 'τέταρτο' νόμο της θερμοδυναμικής, οι χημικές ενώσεις από τα στοιχεία, υδρογόνο, άζωτο, οξυγόνο, φωσφόρο, θείο (ή CHNOPS συντομογραφικά) σχημάτιζαν συστήματα με συνεχώς αυξανόμενη πολυπλοκότητα. Έτσι προέκυψαν οι ζωντανοί οργανισμοί που μεταξύ άλλων έχουν την θεμελιακή ικανότητα να ελαττώνουν την εντροπία τους.

Είμαστε λοιπόν δημιουργήματα του ίδιου του σύμπαντος με κοινή προέλευση και κοινό μέλλον. Προς το παρόν ζούμε πάνω στην χλωμή μπλε κουκκίδα και όταν δεν σκοτωνόμαστε μεταξύ μας, προσπαθούμε με το μυαλό μας να κατανοήσουμε την ύπαρξή μας και τον κόσμο γύρω μας. Είμαστε φτιαγμένοι από υδρογόνο, το οποίο ευτυχώς είχε στη διάθεσή του αρκετό χρόνο.

 10/6/2023

Η αδιαβατική μεταβολή ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή

Θεωρούμε έναν απλό αρμονικό ταλαντωτή για τον οποίο: $ \Sigma F=ma=-Dx$ ή $ \frac{d^{2}x((t)}{dt^{2}}+\omega^{2}x(t)=0$, όπου $ \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}$, η κυκλική ιδιοσυχνότητά του. Το ερώτημα που τίθεται είναι το εξής: Τι συμβαίνει όταν με τον κατάλληλο τρόπο μεταβάλλουμε αργά τη κυκλική συχνότητα του ταλαντωτή;

Για να πάρουμε μια άμεση απάντηση πρέπει να λύσουμε την εξίσωση: $ x''(t) +\omega^{2}(t) x(t)=0$, η οποία συνήθως είναι αρκετά δύσκολη. Καταφεύγοντας στη ... βιβλιογραφία θα διαπιστώσουμε ότι σε τέτοιου είδους κινήσεις υπάρχουν κάποιες διατηρήσιμες ποσότητες. Αποδεικνύεται ότι καθώς μεταβάλλεται το πλάτος και η ενέργεια του ταλαντωτή, ο λόγος της ενέργειας ως προς την συχνότητά του παραμένει σταθερός. Δηλαδή, $ I=\frac{E(t)}{\omega(t)}=\sigma \tau a \theta$. Το μέγεθος αυτό είναι γνωστό ως αδιαβατικό αναλλοίωτο, εξού και ο τίτλος της ανάρτησης. Πώς λοιπόν αποδεικνύεται ότι το μέγεθος $ I$ παραμένει σταθερό όταν μεταβάλλεται η συχνότητα του ταλαντωτή;

Ο συντονισμός που δημιούργησε το 25% της ύπαρξής μας

Η πυρηνική σύντηξη δευτερίου-τριτίου οδήγησε στον σχηματισμό του αρχέγονου ηλίου που αποτελεί το 25% της βαρυονικής ύλης του σύμπαντος

Κατά τη διάρκεια της αρχέγονης πυρηνοσύνθεσης στα πρώτα λεπτά της Μεγάλης Έκρηξης, η αντίδραση σύντηξης δευτερίου-τριτίου ²Η+³Η→n+⁴Ηe, είναι υπεύθυνη για το 99% του αρχέγονου ⁴He. Κρίσιμο ρόλο γι αυτό παίζει η ύπαρξη ενός συντονισμού που αντιστοιχεί στην διεγερμένη ενεργειακή κατάσταση του ενδιάμεσου σύνθετου πυρήνα ⁵He. Αυτό είναι γνωστό εδώ και δεκαετίες και έχει τεκμηριωθεί καλά στην επιστημονική βιβλιογραφία.

Ωστόσο, αυτή η σημαντική πυρηνική αντίδραση παραμένει άγνωστη στους περισσότερους. Το ήλιο που προέκυψε διαμέσου αυτής, στη συνέχεια αποτέλεσε πηγή για την σύνθεση στο εσωτερικό άστρων ενός ποσοστού ≥25% του άνθρακα και άλλων βαρύτερων στοιχείων από τα οποία σχηματίστηκε ο κόσμος που βλέπουμε γύρω μας. Επί πλέον, χωρίς αυτόν τον συντονισμό, η παραγωγή της πολυπόθητης ελεγχόμενης ενέργειας σύντηξης στα εργαστήρια θα ήταν απρόσιτη.

Aναπαράσταση των βασικών διαδρομών της αρχέγονης πυρηνοσύνθεσης στα πρώτα λεπτά μετά την Μεγάλη Έκρηξη και η επακόλουθη πυρηνική αντίδραση των τρία άλφα στο εσωτερικό άστρων, μετά από εκατοντάδες εκατομμύρια ή δισεκατομμύρια χρόνια. Με κόκκινο φαίνεται η κυρίαρχη διαδρομή, βασικός κρίκος της οποίας είναι η πυρηνική αντίδραση σύντηξης δευτερίου-τριτίου (D-T).

Κβαντομηχανική ελεύθερη πτώση

Ένα από τα απλούστερα και σημαντικότερα προβλήματα της κλασικής φυσικής, είναι η μελέτη της κίνησης μιας μπάλας μάζας m που αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος H και ανακλάται ελαστικά από το οριζόντιο επίπεδο έδαφος.
Aν g είναι η σταθερή επιτάχυνση της βαρύτητας (ή η ένταση του ομογενούς βαρυτικού πεδίου) και δεν υπάρχει αντίσταση του αέρα, τότε η συνολική της μηχανική ενέργεια παραμένει συνεχώς σταθερή: $E=K+U=\dfrac{1}{2}mv^{2} + mgx=mgH$. Όταν η μπάλα απέχει απόσταση x από το έδαφος, έχει ταχύτητα: $ v=\sqrt{2g(H-x)}$. Η συνολική ενέργεια της μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο συνεχές διάστημα τιμών $ 0 \leq E=mgH< \infty$ για $0 \leq H < \infty$ και προφανώς, η ελάχιστη τιμή της σ' αυτό το συνεχές εύρος είναι Ε=0, όταν H=0.

Όμως, αν αντί για ένα μακροσκοπικό αντικείμενο όπως η μπάλα, πέφτει ελεύθερα και αναπηδά ελαστικά ένα μικροσκοπικό σωματίδιο, τότε η συμπεριφορά του θα είναι κβαντομηχανική. Η ενέργεια του σωματιδίου θα παίρνει διακριτές τιμές και η ελάχιστη τιμή της θα είναι διάφορη του μηδενός.

Η κυματική φύση της σκοτεινής ύλης

 Η σκοτεινή ύλη θα μπορούσε να αποτελείται από σωματίδια με τόσο μικρή μάζα, ώστε να κυριαρχεί η κυματική φύση τους

 Αν και οι κινήσεις των γαλαξιών μας δίνουν ενδείξεις ότι η σκοτεινή ύλη σίγουρα υπάρχει, μέχρι σήμερα οι επιστήμονες δεν έχουν εντοπίσει άμεσα αυτό το αόρατο είδος ύλης και δεν έχουν ίδέα από τι μπορεί να αποτελείται.

Το περιεχόμενο του σύμπαντος, σύμφωνα με τις μετρήσεις του διαστημικού τηλεσκοπίου Planck (Μάρτιος 2013)

 Η θεωρία που επικράτησε σχετικά με την φύση της σκοτεινής ύλης τις τελευταίες δεκαετίες ήταν ότι αποτελείται από σωματίδια που δρουν σαν μικρές, μικροσκοπικές μπάλες που κινούνται στο διάστημα. Η ιδέα αυτή ακούγεται λογική αν λάβουμε υπόψη ότι η γνωστή μας ύλη – ή ύλη από την οποία αποτελούμαστε και βλέπουμε γύρω μας, συνίσταται από σωματίδια. Αλλά τα τελευταία χρόνια, αρκετοί φυσικοί υποστηρίζουν ότι η σκοτεινή ύλη υπάρχει σε μια διαφορετική μορφή: ως αόρατα κύματα.

 Το να κυριαρχεί η κυματική φύση της σκοτεινής ύλης σημαίνει ότι τα σωματίδιά της είναι εξαιρετικά ελαφριά – ένα εκατομμυριοστό ή ακόμα και ένα δισεκατομμυριοστό της μάζας ενός ηλεκτρονίου.

Η Ελιγολάνδη με το μοναδικό της δέντρο

 Το καλοκαίρι του 1925 ⁽ⁱ⁾, ένας εικοσιτριάχρονος Γερμανός πέρασε μέρες αγωνιώδους μοναξιάς σε ένα ανεμοδαρμένο νησί της Βόρειας Θάλασσας: την Ελιγολάνδη⁽ⁱⁱ⁾ ή Χέλγκολαντ (Helgoland) – το Ιερό νησί. Σ’ αυτό το νησί, συνέλαβε την μαθηματική δομή της κβαντικής φυσικής. Ίσως την πιο εντυπωσιακή επιστημονική επανάσταση όλων των εποχών. Το όνομα του νεαρού ήταν Βέρνερ Χάιζενμπεργκ (Werner Heisenberg).

Max Jensen – Ακτή ανοιχτά της Ελιγολάνδης

Ενώ εργαζόταν στο πανεπιστήμιο του Γκαίτιγκεν, μια κρίση αλεργίας στη γύρη παραμόρφωσε το πρόσωπό του κάνοντάς το αγνώριστο. Αδυνατώντας να αντέξει έστω και μια μέρα καλοκαιρινής άνοιξης παραπάνω, μπήκε σε ένα πλοίο για να φύγει όσο το δυνατόν πιο μακριά έχοντας στο μυαλό του τα ανεξήγητα προβλήματα της σύγχρονης φυσικής: Πως εξηγείται η συμπεριφορά των ατόμων; Πώς κινούνται τα ηλεκτρόνια; Γιατί φαίνονται να έχουν συγκεκριμένες μόνο τροχιές; Γιατί κάνουν αυτά τα ξεκάρφωτα «άλματα» από τη μια τροχιά στην άλλη; Ποια δύναμη θα μπορούσε πθανώς να προκαλέσει τέτοια παράξενη συμπεριφορά; Τα ερωτήματα του είχαν γίνει εμμονή. Όπως και οι άλλοι, είχε δοκιμάσει τα πάντα. Τίποτα δεν λειτούργησε. Φαινόταν ότι δεν υπήρχε λογική δύναμη ικανή να καθοδηγήσει τα ηλεκτρόνια στις παράξενες τροχιές του Μπορ και στα περίεργα άλματά του. Κι όμως αυτές οι τροχιές κι αυτά τα άλματα προέβλεπαν σωστά τα ατομικά φαινόμενα. Κατέληξε στην κατάσταση μιας απόγνωσης – εκείνης που μας ωθεί να αναζητήσουμε ακραίες λύσεις.

Ο Χαίζενμπεργκ ταλαιπωρημένος από την αλλεργία του στη γύρη φτάνει στην Ελιγολάνδη η οποία διαθέτει ελάχιστη βλάστηση. Δεν έχει μαζί του πολλές αποσκευές: μια αλλαξιά ρούχα, ένα ζευγάρι παπούτσια πεζοπορίας, το Δυτικόανατολικό ντιβάνι – μια συλλογή ποιημάτων του Γκαίτε και τους υπολογισμούς του για τις τροχιές των ηλεκτρονίων. Βρήκε ένα δωμάτιο, η ιδιοκτήτρια του οποίου μόλις αντίκρυσε το παρμορφωμένο πρόσωπό του από την αλλεργία νόμισε ότι τον είχαν δείρει – γεγονός καθόλου σπάνιο στην Γερμανία του μεσοπολέμου.

Η προέλευση της αρχής της αβεβαιότητας

 

Για να εντοπίσουμε την θέση ενός αντικειμένου παρατηρώντας το, πρέπει να το φωτίσουμε. Να ρίξουμε πάνω του φωτόνια, μερικά από τα οποία αφού προσκρούσουν στο αντικείμενο, θα ανακλαστούν και θα φτάσουν στα μάτια μας. Το φως, αν και σπάνια το αντιλαμβανόμαστε, συμπεριφέρεται και ως κύμα. Το μήκος κύματος του ορατού φωτός είναι της τάξης των 10⁻⁵ cm.
Τα μάτια μας δεν είναι τόσο ευαίσθητα για να διακρίνουν μια τόσο μικρή απόσταση, αλλά αυτή θα ήταν η καλύτερη ακρίβεια με την οποία θα μπορούσαμε να εντοπίσουμε ένα αντικείμενο χρησιμοποιώντας ορατό φως.

Αν τώρα θέλουμε να διεισδύσουμε στον υποατομικό μικρόκοσμο, πώς θα μπορούσαμε να εντοπίσουμε π.χ. έναν ατομικό πυρήνα;
Ένας τρόπος είναι να ρίξουμε πάνω του φωτόνια με πολύ μικρότερο μήκος κύματος. Tέτοια φωτόνια βρίσκονται στο δεξιό άκρο του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος - πρόκειται για τα φωτόνια των ακτίνων γάμμα.

Όμως τα φωτόνια εκτός από ενέργεια $E=hf=\dfrac{hc}{\lambda}$ διαθέτουν και ορμή $p=\dfrac{hf}{c}=\dfrac{h}{\lambda}$, ($h$ η σταθερά του Planck). Έτσι, για να εντοπίσουμε τη θέση του πυρήνα μέσα στο εύρος Δx, χρειαζόμαστε φωτόνια με μήκος κύματος λ τόσο μικρό, τουλάχιστον όσο το Δx, δηλαδή $\lambda =\dfrac{h}{p} \sim \Delta x $ (1)
Όταν βομβαρδίζουμε έναν πυρήνα με φωτόνια υψηλής ενέργειας, δίνουμε ώθηση στο πρωτόνιο και μεταβάλλεται η ορμή του. Χοντρικά μπορούμε να πούμε ότι η ορμή του πυρήνα γίνεται αβέβαιη κατά μια ποσότητα περίπου όση η ορμή του προσπίπτοντος φωτονίου: $\Delta p \sim p $ (2)
Επομένως, από τις σχέσεις (1) και (2) βλέπουμε ότι η αβεβαιότητα στην ορμή του πυρήνα συνδέεται με την αβεβαιότητα στη θέση του με την εξίσωση: $ \Delta x \sim h/\Delta p$ ή $\Delta p \Delta x \sim h $.
Η τελευταία εξίσωση δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια προσεγγιστική έκφραση της αρχής της απροσδιοριστίας που συσχετίζει την αβεβαιότητα της ορμής με την αβεβαιότητα της θέσης.

Η αρχή της αβεβαιότητας ορμής-θέσης εκφράζεται από την σχέση: $ \Delta p \cdot \Delta x \geq \dfrac{\hbar}{2} = \dfrac{h}{4 \pi} $, όπου $ \Delta p$ η αβεβαιότητα στην ορμή, $ \Delta x$ η αβεβαιότητα στην θέση και $ \hbar=h/2 \pi$ .

Ένας δεύτερος τρόπος για να προσδιορίσουμε τη θέση ενός ατομικού πυρήνα είναι να ρίξουμε πάνω του ... ηλεκτρόνια, μερικά από τα οποία θα αναπηδήσουν από την σύγκρουση και στη συνέχεια θα καταγραφούν σε έναν ανιχνευτή. Σύμφωνα με τον πρίγκιπα de Broglie, το ηλεκτρόνιο συμπεριφέρεται και ως κύμα, με μήκος κύματος λ αντιστρόφως ανάλογο με την ορμή του ηλεκτρονίου p, δηλαδή $\lambda = h/p $.
Όμως όταν ανιχνεύουμε κάτι χρησιμοποιώντας ένα κύμα, είναι σαφές ότι δεν μπορoύμε να εντοπίσουμε τη θέση του με ακρίβεια καλύτερη από την τάξη μεγέθους του μήκους κύματος του κύματος. Έτσι, για να εντοπίσουμε τη θέση του πυρήνα μέσα στο εύρος Δx, θα χρειαστoούμε ηλεκτρόνια με μήκος κύματος λ τόσο μικρό, τουλάχιστον όσο το Δx. Αλλά αυτό δεν είναι πρόβλημα. Μπορούμε να τα επιταχύνουμε ώστε να αποκτήσουν μεγαλύτερη ορμή και επομένως μικρότερο μήκος κύματος $ \lambda \sim h/p \sim \Delta x$.
Αλλά όταν βομβαρδίζουμε έναν πυρήνα με ηλεκτρόνια υψηλής ενέργειας, μεταβάλλεται η ορμή του - δηλαδή, η ορμή του πυρήνα γίνεται αβέβαιη κατά μία ποσότητα $\Delta p \sim p$. Επομένως, όπως και προηγουμένως με τα φωτόνια, η αβεβαιότητα στην ορμή και η αβεβαιότητα στη θέση του πυρήνα ικανοποιούν την προσεγγιστική έκφραση της αρχής της απροσδιοριστίας: $ \Delta p \Delta x \sim h $.

Συνοψίζοντας, μια έκφραση της αρχής αβεβαιότητας του Heisenberg προκύπτει από την σχέση της ορμής του φωτονίου με το μήκος κύματος του αντίστοιχου ηλεκτρομαγνητικού κύματος $(p=h/\lambda )$ ή από την αντίστοιχη σχέση που υπέθεσε ο πρίγκιψ de Broglie $ (\lambda = h/p)$ για να συνδέσει το μήκος κύματος της κυματικής συμπεριφοράς ενός σωματιδίου με την ορμή του.

 21/1/2023

Πως η κυκλοειδής καμπύλη περιγράφει την εξέλιξη του σύμπαντος

 Στο Acta Eruditorium τον Ιούνιο του 1696 (ίσως το πρώτο επιστημονικό περιοδικό) εμφανίστηκε ένα σημείωμα από τον διάσημο Ελβετό επιστήμονα Johann Bernoulli με τίτλο «Ένα νέο πρόβλημα που οι μαθηματικοί καλούνται να επιλύσουν», που το διατύπωνε ως εξής:

Έστω δυο δεδομένα σημεία Α και Γ σε ένα κατακόρυφο επίπεδο.

Να βρεθεί η καμπύλη την οποία πρέπει να διαγράψει ένα υλικό σημείο σημείο που κινείται στη διαδρομή ΑΓ υπό την επίδραση του βάρους του, έτσι ώστε, ξεκινώντας από το Α, να φτάσει στο Γ στον ελάχιστο χρόνο.

Πολλοί μαθηματικοί έλυσαν το πρόβλημα του Johann Bernoulli, όπως ο Lebniz, Jakob Bernoulli (ο αδελφός του Johann) και ίσως ίδιος ο Newton καθώς μια ανώνυμη λύση που στάλθηκε αποδίδεται σ’ αυτόν.
Όλοι κατέληγαν στο συμπέρασμα ότι η ζητούμενη «βραχυστόχρονη» είναι η κυκλοειδής καμπύλη. Η κυκλοειδής είναι η τροχιά που διαγράφει κάποιο συγκεκριμένο σημείο ενός κύκλου που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία γραμμή.

 Το όνομα της κυκλοειδούς (ως καμπύλης που σχετίζεται με τον κύκλο) εμφανίστηκε για πρώτη φορά στις εργασίες του Γαλιλαίου σαν επεξηγηματικό παράδειγμα. Την ανακάλυψαν ξανά στη Γαλλία οι Mersenne, Roberval, Descartes και Pascal και την βάφτισαν roulette.
Οι κορυφαίοι μαθηματικοί του 17ου αιώνα μελέτησαν πλήρως την κυκλοειδή καμπύλη προσδιορίζοντας τις εξισώσεις των εφαπτομένων της, τα εμβαδά των χωρίων που περικλείονται από αυτήν και τον άξονα των τετμημένων, τα μήκη των τόξων της, κ.ο.κ.
Και στη συνέχεια εμφανίστηκε άλλη μια έκπληξη. Aποδείχθηκε τελικά ότι αυτή, και όχι – όπως έγραφε ο Γαλιλαίος – κύκλος, έχει την εξής ιδιότητα: ένα σώμα που ολισθαίνει κατά μήκος της χωρίς τριβές ταλαντώνεται με περίοδο που δεν επηρεάζεται από την αρχική του θέση. Αυτή η ιδιότητα του ταυτόχρονου (ή του ισόχρονου) της κυκλοειδούς ανακαλύφθηκε από τον Huygens και προκάλεσε ενθουσιασμό. Ο ίδιος ο Huygens έγραψε ότι «η ανακάλυψη [αυτής] της ιδιότητας της κυκλοειδούς συνιστά τον πλέον ποθητό καρπό, ένα είδος αποκορυφώματος της διδασκαλίας του Γαλιλαίου για την πτώση των σωμάτων».

(Περισσότερη μαθηματική ανάλυση σχετικά με τις ιδιότητες του «βραχυστόχρονου» και του «ισόχρονου» της κυκλοειδούς καμπύλης μπορείτε να διαβάσετε ΕΔΩ)
Ο ενθουσιασμός όμως για την κυκλοειδή καμπύλη με το πέρασμα του χρόνου άρχισε να μειώνεται καθώς τελικά δεν ήταν το «εργαλείο» που θα έδινε απαντήσεις και σ’ άλλα θεμελιώδη προβλήματα της Φυσικής.
Η «απαξίωση» της κυκλοειδούς καμπύλης σήμερα είναι ακόμα μεγαλύτερη και όλο πιο σπάνια την συναντάει κανείς σε βιβλία φυσικής.

Η κυκλοειδής καμπύλη αποτελεί λύση της εξίσωσης Friedmann

Κι όμως η κυκλοειδής καμπύλη έχει περισσότερες εφαρμογές.
Και η εντυπωσιακότερη απ’ όλες να είναι το γεγονός ότι αποτελεί λύση της εξίσωσης Friedmann που περιγράφει την χρονική εξέλιξη του μεγέθους του σύμπαντος.
Η εξίσωση Friedmann προκύπτει από την επίλυση των εξισώσεων πεδίου της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας, θεωρώντας την ομογενή και ισότροπη μετρική Robertson-Walker.
Στην εξίσωση περιέχεται ο παράγοντας κλίμακας R(t), ο οποίος περιγράφει την χρονική εξέλιξη του μέγεθους του σύμπαντος ή πιο συγκεκριμένα την χρονική εξάρτηση κάθε τυπικού μήκους, όπως για παράδειγμα την απόσταση μεταξύ δυο γαλαξιών:

$ \left( \dfrac{dR}{dt} \right)^{2} = \dfrac{8}{3} \dfrac{\pi G \rho_{0}R^{2}_{0}}{R(t)}-kc^{2}$     (1)

όπου G η σταθερά της παγκόσμιας έλξης, ρ₀ και R₀ οι σημερινές τιμές της ενεργειακής πυκνότητας του σύμπαντος και του παράγοντα κλίμακας αντίστοιχα.
Ο γεωμετρικός παράγοντας k παίρνει τις τιμές k=0, +1 και -1, που καθορίζουν την γεωμετρία και την εξέλιξη του σύμπαντος.
Στην περίπτωση που k=+1 παρατηρούμε ότι η υπάρχει χρονική στιγμή t κατά την οποία ο παράγοντας κλίμακας R(t) εμφανίζει ένα μέγιστο.
Η μέγιστη τιμή $R_max$ υπολογίζεται πολύ εύκολα θέτοντας στην εξίσωση Friedmann, $dR(t)/dt=0$,

$R_{max}=\dfrac{8 \pi G \rho_{0} R^{3}_{0}}{3c^{2}}$  

Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση (1) έχουμε:

$ \dfrac{dR}{dt}=c \sqrt{\dfrac{R_{max}-R(t)}{R(t)}} \Rightarrow \int_{0}^{R} \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R_{max}-R}}dR = ct$

Το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται κάνοντας τον μετασχηματισμό $R=R_{max}\sin^{2}(\theta/2)$, παίρνοντας τελικά

$t(\theta)=\dfrac{R_{max}}{2c}(\theta - \sin \theta)$ και $R(\theta)=\dfrac{R_{max}}{2}(1- \cos \theta)$

Οι δυο αυτές εξισώσεις αποτελούν την παραμετρική έκφραση της κυκλοειδούς καμπύλης που περιγράφει το κλειστό σύμπαν (k=+1).

  Στο παραπάνω σχήμα βλέπουμε την εξέλιξη του R(t) για την περίπτωση του ανοιχτού σύμπαντος (k=-1, με τιμή παραμέτρου πυκνότητας Ω₀=0.5), την περίπτωση του επίπεδου (k=0 και Ω₀=1) και την περίπτωση που εξετάστηκε εδώ, το κλειστό σύμπαν (k=+1, με Ω₀=2).
Στην περίπτωση του κλειστού σύμπαντος το σύμπαν διαστέλλεται φθάνοντας σε μια μέγιστη «ακτίνα» Rmax και στη συνέχεια συστέλλεται μέχρι την Μεγάλη Σύνθλιψη (το αντίθετο της Μεγάλης Έκρηξης). Και η κυκλοειδής καμπύλη περιγράφει την «ακτίνα» αυτού του σύμπαντος συναρτήσει του χρόνου.

 21/01/2012