Υπολογισμός ολοκληρωμάτων «με τον τρόπο του Feynman»

  

"(...) Είχα μάθει να υπολογίζω ολοκληρώματα με διάφορες μεθόδους από ένα βιβλίο το οποίο μου είχε δώσει κάποιος καθηγητής φυσικής στο λύκειο, ο κύριος Bader. Θυμάμαι ότι εκείνη τη φορά μου ζήτησε να παραμείνω στην τάξη μετά το μάθημα: "Feynamn, μιλάς πολύ και κάνεις φασαρία. Ξέρω γιατί. Πλήττεις! Γι' αυτό θα σου δώσω ένα βιβλίο. Θα κάθεσαι εκεί πίσω στη γωνία και θα το μελετάς. Μόνο όταν θα έχεις μάθει όλα όσα λέει θα ξαναμιλήσεις".
Έτσι, σε κάθε μάθημα φυσικής δεν έδινα σημασία στο νόμο του Pascal ή σε οτιδήποτε άλλο έλεγαν, αλλά καθόμουν και διάβαζα τον απειροστικό λογισμό του Woods⁽¹⁾. O καθηγητής μου ήξερε ότι ήδη είχα διαβάσει τον Απειροστικό λογισμό για τον πρακτικό άνθρωπο, και έτσι μου έδωσε το κολεγιακού επιπέδου βιβλίο. Περιείχε τις σειρές Fourier, τις συναρτήσεις Bessel, ορίζουσες, ελλειπτικές συναρτήσεις - όλα εκείνα τα πράγματα που αγνοούσα.
Το βιβλίο αυτό εξηγούσε επίσης πως να παραγωγίζεις παραμετρικά μέσα από ολοκλήρωμα - μια μέθοδος η οποία μάλλον δεν διδάσκεται πολύ στα πανεπιστήμια. Εγώ όμως έμαθα να τη χρησιμοποιώ, και μάλιστα μου έγινε απαραίτητο εργαλείο. Ως αυτοδίδακτος λοιπόν μαθηματικός, χάρη σε εκείνο το βιβλίο έμαθα να ακολουθώ δικές μου μεθόδους ολοκλήρωσης.
Αργότερα στο ΜΙΤ και στο Πρίνστον, όταν οι συνάδελφοί μου δυσκολεύονταν να βρουν ένα ολοκλήρωμα ήμουν σίγουρος ότι αυτό δεν μπορούσε να υπολογιστεί με τις μεθόδους που είχαν διδαχτεί. Διότι, αν χρειάζονταν επικαμπύλια ολοκλήρωση, θα το είχαν καταλάβει. Αν χρειάζονταν ανάπτυγμα σε σειρά, πάλι θα το είχαν καταλάβει. Έτσι, λοιπόν, όταν μου ζητούσαν να τους βοηθήσω, ξεκινούσα την παραγώγιση μέσα στο ολοκλήρωμα, και συνήθως τα κατάφερνα. Τελικά απέκτησα τη φήμη ότι ήμουν άπιαστος στο να υπολογίζω ολοκληρώματα. Στην πραγματικότητα, αυτό οφειλόταν στο ότι διέθετα μια εργαλειοθήκη διαφορετική από όλους τους άλλους, και όσοι αντιμετώπιζαν προβλήματα έρχονταν σε μένα όταν η δική τους είχε αποτύχει."
(Richard P. Feynman. "Σίγουρα θα αστειεύεστε κύριε Feynman", μετάφραση και επιστημονική επιμέλεια Ευάγγελος Βιτωράτος, εκδόσεις κάτοπτρο)
⁽¹⁾ μπορείτε να κατεβάσετε τον απειροστικό λογισμό του Woods πατώντας ΕΔΩ: Advanced Calculus, Frederick S. Woods

H μέθοδος Feynman μπορεί να εφαρμοστεί για παράδειγμα στο παρακάτω ολοκλήρωμα:

$I=\int\limits_{0}^{2\pi} e^{\cos \theta} \cos(\sin\theta)d\theta $

Δεδομένου ότι  αλλαγή μεταβλητής $ y=\sin\theta$ μάλλον περιπλέκει περισσότερο τα πράγματα ... ας θεωρήσουμε το ολοκλήρωμα: $ I(a)=\int_{0}^{2\pi} e^{a\cos \theta} \cos(a\sin\theta)d\theta $
Παραγωγίζουμε ως προς $a$:
$\dfrac{\partial I}{\partial a} =\int\limits_{0}^{2\pi} e^{a\cos \theta} \left[\cos\theta cos(a\sin\theta)-\sin\theta \sin(a\sin\theta) \right]d\theta =$ $\int\limits_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{a} \dfrac{d}{d\theta}\left[ e^{a\cos \theta}\sin(a\sin\theta) \right] d\theta$
$=\left[\dfrac{1}{a}e^{a\cos\theta}\sin(a\sin\theta)\right]_{0}^{2\pi} =0$
Βλέπουμε ότι το ολοκλήρωμα Ι(α) είναι ανεξάρτητο από την τιμή της παραμέτρου α! Αν επιλέξουμε την τιμή α=0 προκύπτει ότι: $I(0)=\int_{0}^{2\pi} 1d\theta =2\pi=I(a) $, κάθε τιμή του α! Επομένως για α=1 παίρνουμε την τιμή του αρχικού ολοκληρώματος:

$I=I(1)=\int\limits_{0}^{2\pi} e^{\cos \theta} \cos(\sin\theta)d\theta=2\pi $.

διαβάστε επίσης:
1. Advanced Calculus, Frederick S. Woods, σελ.143
2. Leibniz Integral Rule
3. Richard Feynman’s Integral Trick

 28/11/2019

Η Μεγάλη Έκρηξη και ο χρόνος ζωής του νετρονίου

  

Τα ελεύθερα νετρόνια είναι ασταθή σωματίδια. Παρακολουθώντας έναν αριθμό ελεύθερων νετρονίων, θα δούμε τα μισά από αυτά να διασπώνται μέσα σε 10 λεπτά περίπου, σε πρωτόνια, ηλεκτρόνια και αντι-νετρίνα: $ n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu} $.

Ο πειραματικός προσδιορισμός του χρόνου ζωής του νετρονίου δεν είναι εύκολη υπόθεση και συνήθως περιέχει σημαντικά σφάλματα.

Υπάρχουν δύο βασικές πειραματικές προσεγγίσεις για τη μέτρηση χρόνου ζωής των νετρονίων: η "μέθοδος της φιάλης" και η «μέθοδος δέσμης».

Στην «μέθοδο της φιάλης», νετρόνια με ενέργειες της τάξης των νανο-ηλεκτρονιοβόλτ, περιορίζονται σε μια παγίδα ή φιάλη που σχηματίζεται από συνδυασμούς μαγνητικών πεδίων, βαρύτητας και τοιχωμάτων.
Ο χρόνος ζωής των νετρονίων τ_n προκύπτει μετρώντας τον αριθμό των σωματιδίων που επιβιώνουν στην παγίδα μετά από συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Συνδυάζοντας τα 5 τελευταία πειράματα αυτού του είδους προκύπτει ότι ο χρόνος ζωής των νετρονίων είναι τ_n = (879.6 ± 0.8) s.

Με την «μέθοδο της δέσμης» ανιχνευτές καταμετρούν τον ρυθμό διάσπασης των νετρονίων σε καθορισμένο όγκο μιας δέσμης νετρονίων. Συνδυάζοντας τις δυο τελευταίες μετρήσεις αυτού του είδους προκύπτει ότι τ_n = (888.0 ± 2.1) s.

Οι μετρήσεις αυτές διαφέρουν αρκετά, κατά 8,5 s, δηλαδή κατά περίπου ~ 3,7 τυπικές αποκλίσεις.

Τι σχέση μπορεί να έχει ο χρόνος ζωής των νετρονίων με την Μεγάλη Έκρηξη;

Το ‘Καθιερωμένο Πρότυπο’ του Εμπεδοκλή

 Το Καθιερωμένο Πρότυπο (Standard Model) των Στοιχειωδών Σωματιδίων είναι η φυσική θεωρία που περιγράφει τα ελάχιστα δομικά συστατικά της ύλης και τον τρόπο με τον οποίο αλληλεπιδρούν μεταξύ τους διαμέσου των θεμελιωδών δυνάμεων της φύσης (ισχυρές, ασθενείς και ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις). Απεικονίζεται συνοπτικά με έναν πίνακα, παρόμοιο με τον περιοδικό πίνακα των στοιχείων, μόνο που τώρα στην θέση των στοιχείων του Μεντελέγιεφ, παίρνουν τα στοιχειώδη σωματίδια. Ο πίνακας περιλαμβάνει τρεις οικογένειες στοιχειωδών σωματιδίων ύλης (φερμιόνια) και τα σωματίδια που είναι οι φορείς των δυνάμεων (μποζόνια). Αν εξαιρέσει κανείς τις μάζες, οι τρεις οικογένειες (γενιές) των σωματιδίων της ύλης δεν διαφέρουν καθόλου μεταξύ τους.

Το Καθιερωμένο Πρότυπο διατυπώθηκε πριν από αρκετές δεκαετίες, επεκτάθηκε και τροποποιήθηκε πολλές φορές στο πέρασμα του χρόνου και τα πειράματα έχουν ενισχύσει την εμπιστοσύνη των φυσικών σ’ αυτό. Όμως είναι ελλιπές. Για παράδειγμα, δεν μπορεί να προβλέψει τις μάζες συγκεκριμένων σωματιδίων, θεωρεί ότι τα νετρίνα δεν έχουν μάζα και αδυνατεί να εξηγήσει τι είναι η σκοτεινή ενέργεια και η σκοτεινή ύλη, περίπου το 95% του περιεχομένου του σύμπαντος. 

Στα θεμέλια των βιοϊατρικών επιστημών βρίσκεται η Φυσική

 

Η αόρατη επίδραση της Φυσικής στις βιοϊατρικές επιστήμες

Όταν ένας μαθητής σκοπεύει να σπουδάσει επιστήμες ιατρικής και υγείας, υποθέτει ότι πρέπει να διαπρέψει στη βιολογία ή τη χημεία. Έτσι, εστιάζει το ενδιαφέρον του κυρίως σ’ αυτά τα δύο μαθήματα. Όμως, οι περισσότεροι ξεχνούν ή αγνοούν την τεράστια σημασία των εννοιών της Φυσικής στον βιοϊατρικό τομέα.

Πίσω από τις ιατρικές ορολογίες της ανατομίας, της φυσιολογίας ή της μοριακής βιολογίας απλώνονται οι σκιές ορολογιών όπως η ιατρική απεικόνιση, η εμβιομηχανική, η ακτινοβολία, ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός, που σχετίζονται με τις αναπόσπαστες έννοιες της Φυσικής. Αυτά αναφέρονται συχνά ως ιατρική Φυσική.

Η ιατρική Φυσική εφαρμόζει τις αρχές της Φυσικής στην ιατρική. Είναι απαραίτητη σε όλες σχεδόν τις ιατρικές τεχνολογίες διάγνωσης και θεραπείας που χρησιμοποιούνται σήμερα. Από τις ακτινογραφίες έως τις τομογραφίες μαγνητικού συντονισμού (MRI), την ακτινοθεραπεία έως τη χειρουργική επέμβαση λέιζερ, τις ιατρικές συσκευές και τα εμφυτεύματα έως την αποκατάσταση, η Φυσική διαδραματίζει πολύ κρίσιμο ρόλο στην εξέλιξη του τομέα της ιατρικής.

Πειραματικές μέθοδοι που προσεγγίζουν χρονικές κλίμακες αττοδευτερολέπτου

Iστορικό υπόβαθρο
Με το βραβείο Νόμπελ Φυσικής 2023 τιμήθηκε η έρευνα για την μελέτη της κίνησης ηλεκτρονίων σε άτομα, μόρια και στην συμπυκνωμένη φάση της ύλης διαμέσου της φασματοσκοπίας αττοδευτερολέπτου (attosecond).

Το Νόμπελ Φυσικής 2023 απονεμήθηκε στους: στους Pierre Agostini (The Ohio State University, Columbus, HΠΑ), Ferenc Krausz (Max Planck Institute of Quantum Optics, Garching and Ludwig-Maximilians-Universität München, Γερμανία) και Anne L’Huillier (Lund University, Σουηδία…) «για την ανάπτυξη πειραματικών μεθόδων που παράγουν παλμούς φωτός διάρκειας attosecond για την μελέτη της δυναμικής των ηλεκτρονίων στην ύλη». Υπενθυμίζεται ότι 1 attosecond=1×10⁻¹⁸ sec =0,000000000000000001 sec.

Όταν ο Werner Heisenberg διατύπωσε τη νέα κβαντική μηχανική το 1925, το κύριο επιχείρημά του ήταν ότι η παλιά κβαντομηχανική ανάγκασε τους φυσικούς να χρησιμοποιήσουν ποσότητες που «αξιωματικά» ήταν μη παρατηρήσιμες, όπως η θέση και η περίοδος περιφοράς του ηλεκτρονίου στο άτομο του υδρογόνου.

Ο Heisenberg υποστήριξε ότι μια νέα θεωρία πρέπει να βασίζεται σε παρατηρήσιμα φυσικά μεγέθη (observables), όπως οι συχνότητες των κβαντικών αλμάτων.
Η ενορατική εργασία του Heisenberg του 1925 να είναι μια από τις πιο σημαντικές στη φυσική του 20ου αιώνα. Όμως, δεν μπορούσε να προβλέψει ότι εκείνα που τότε ήταν σύμφωνα με τις «θεμελιώδεις αρχές» μη παρατηρήσιμα θα γίνονταν σήμερα προσιτά σε εργαστηριακά πειράματα. Μπορεί να μην είμαστε ακόμη σε θέση να παρατηρήσουμε, με την αυστηρή έννοια, τη θέση και την περιφορά ενός ηλεκτρονίου γύρω από έναν πυρήνα, αλλά σήμερα, μπορούμε να «δούμε»σε εργαστηριακά πειράματα την δυναμική των ηλεκτρονίων σε άτομα, μόρια και στη συμπυκνωμένη φάση της ύλης.

Πώς είναι δυνατόν αυτό; Απλά επιχειρήματα που βασίζονται σε σύγκριση της εγγενούς ατομικής μονάδας του χρόνου, περίπου 24∙10⁻¹⁸ s=24 as (attoseconds) και της χρονικής κλίμακας ενός απλού κύκλου οπτικού παλμού, περίπου 10⁻¹⁵ s ή 1 femtosecond (fs), δείχνουν ότι δεν θα ήταν ποτέ δυνατό να μελετηθεί η δυναμική του ηλεκτρονίου σε πραγματικό χρόνο. Πράγματι, για αρκετό καιρό, ο συντομότερος παλμός που παρήγαγαν τα εργαστήρια λέιζερ ήταν περίπου 6 fs. Η πειραματική ανάπτυξη σύντομων οπτικών παλμών έχει συνδεθεί στενά με τις τεχνικές εξελίξεις στην τεχνολογία λέιζερ, όπως η εγκλείδωση ρυθμών (mode locking) και οι μετρήσεις διάρκειας παλμών φωτός.

Αυτό κατέστησε δυνατή την ανίχνευση του τρόπου με τον οποίο τα άτομα κινούνται σε ένα μόριο και ειδικότερα, τη δυνατότητα μελέτης των «φευγαλέων» μεταβατικών καταστάσεων στις χημικές αντιδράσεις, μελέτες για τις οποίες ο Ahmed Zewail τιμήθηκε με το Νόμπελ Χημείας το 1999.

Η θερμοδυναμική λύση μιας κλασικής ανισότητας

 Ποιό είναι μεγαλύτερο, το e^π ή το π^e; H απάντηση μπορεί να δοθεί χρησιμοποιώντας ... τον 2ο νόμο της θερμοδυναμικής!

Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να απαντηθεί το παραπάνω ερώτημα (για παράδειγμα, δείτε: Μια οπτική αποδειξη της ανισότητας π^e < e^π ή What is greater: e^π or π^e?). Στη συνέχεια παρουσιάζεται μια εναλλακτική λύση που βασίζεται στον δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο.

Είναι γνωστό ότι όταν δύο σώματα Α και Β με διαφορετικές θερμοκρασίες έρχονται σε επαφή, η θερμική ενέργεια ρέει από το θερμότερο προς το ψυχρότερο, μέχρι να επιτευχθεί θερμική ισορροπία.
Ας υποθέσουμε ότι το σώμα Α είναι ένα ασυμπίεστο στερεό με σταθερή θερμοχωρητικότητα C, και ότι η αρχική θερμοκρασία του ισούται με τον γνωστό από την γεωμετρία αριθμό π, δηλαδή T₁=π=3,1415927...
και ότι το σώμα Β είναι μια τεράστια δεξαμενή θερμότητας σε θερμοκρασία T₂=e=2,7182818..., όπου e είναι ο αριθμός του Euler (οι δύο θερμοκρασίες μετρώνται στην απόλυτη κλίμακα θερμοκρασιών ή κλίμακα Κέλβιν). Θεωρούμε ότι τα δύο συστήματα ανταλλάσσουν μεταξύ τους μόνο θερμότητα.

Η καμπύλη του συντονισμού και ο χρόνος ζωής των σωματιδίων

 Πως η αβεβαιότητα στην ενέργεια ενός σωματιδίου προσδιορίζει με εξαιρετική ακρίβεια τον χρόνο ζωής ασταθών σωματιδίων

Υπάρχουν σωματίδια που ζουν αιώνια ή για να το πούμε διαφορετικά, ο χρόνος ζωής τους είναι μεγαλύτερος από την ηλικία του σύμπαντος, όπως για παράδειγμα τα πρωτόνια, τα ηλεκτρόνια, τα νετρίνα και τα φωτόνια. Όμως, υπάρχουν και σωματίδια τα οποία όπως και οι άνθρωποι, έχουν πεπερασμένο χρόνο ζωής. Πολλά από αυτά πεθαίνουν σχεδόν αμέσως αφού παραχθούν. Για παράδειγμα, ένα ελεύθερο νετρόνιο ζεί περίπου 15 λεπτά, ένα μιόνιο 2,2 εκατομμυριοστά του δευτερολέπτου, το διάσημο σωματίδιο Higgs ζει λιγότερο από ένα τρισεκατομμυριοστό του δισεκατομμυριοστού του δευτερολέπτου ή 1,6×10^-22 δευτερόλεπτα, ενώ τα  μποζόνια W⁺, W⁻ και Z⁰ ζουν ακόμα λιγότερο, γύρω στα 10⁻²⁵ δευτερόλεπτα.

 Ένας αναπάντεχος τρόπος για να υπολογίσουμε τον χρόνο ζωής των ασταθών σωματιδίων είναι διαμέσου της κβαντομηχανικής σχέσης: $\Delta E \cdot \Delta t \geq \dfrac{\hbar}{2}$. Η σχέση αυτή αποκαλείται συχνά "σχέση αβεβαιότητας ενέργειας-χρόνου", ένα παραπλανητικό όνομα, διότι ανακαλεί αδόκιμα την θεμελιώδη κβαντομηχανική σχέση αβεβαιότητας θέσης-ορμής $ \Delta p \cdot \Delta t \geq \dfrac{\hbar}{2}$. Όμως, η σύγκριση είναι άστοχη, εφόσον ο χρόνος δεν είναι παρατηρήσιμο μέγεθος προσαρτημένο σε ένα σωματίδιο. Το νόημα της σχέσης αυτής εξαρτάται από το είδος της μέτρησης που μας ενδιαφέρει. Μια πιο σωστή γραφή της σχέσης αυτής θα ήταν $ \Delta E \cdot T \geq \dfrac{\hbar}{2}$ , όπου το Τ συμβολίζει τον χαρακτηριστικό χρόνο μέσα στον οποίο η ενέργεια του κβαντικού συστήματος αλλάζει αξιόλογα.

Ο θόλος του Norton: Η απροσδιοριστία στη νευτώνεια φυσική;

 

Θα εκτελέσουμε - επιστρατεύοντας την φαντασία μας - το εξής πείραμα: Ισορροπούμε στην κορυφή ενός ημισφαιρικού λείου θόλου μια σημειακή μάζα. Δεν υπάρχει αέρας ή κάποια άλλη αιτία που θα μπορούσε να ασκήσει κάποια επιπλέον δύναμη. Σε μια τέτοια περίπτωση η φυσική διαίσθηση μας λέει ότι, όσο κι αν περιμένουμε η μάζα θα περαμένει ακίνητη στην κορυφή. Και πράγματι αυτό συμβαίνει.
Στο ίδιο συμπέρασμα θα καταλήξουμε αν εφαρμόσουμε τους νόμους της κλασσικής νευτώνειας φυσικής. Έτσι, αν το σημειακό σωματίδιο μάζας m γλιστρά πάνω στην ημισφαιρική επιφάνεια η εξίσωση της θέσης του $\vec{r}=\vec{r}(t)$ ικανοποιεί την εξίσωση: $\vec{F}=m \dfrac{d^{2} \vec{r}}{dr^{2}}$, όπου $\vec{F}(\vec{r})$ είναι η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο. Αν όμως θεωρήσουμε ως αρχικές συνθήκες τις, $\vec{r}(0)=0$ και $\vec{v}(0)=0$, και κάνουμε τα μαθηματικά, τότε η διαφορική εξίσωση του Νεύτωνα μας δίνει την τετριμμένη λύση: $r(t)=0$. Ότι δηλαδή το σωματίδιο θα παραμένει ακίνητο στην κορυφή του ημισφαιρικού θόλου "εις τους αιώνας των αιώνων. Αμήν".

Η μάζα του σωματιδίου ταυ και η μυστηριώδης εξίσωση του Koide

Η μάζα του λεπτονίου ταυ μετρήθηκε πρόσφατα από το πείραμα Belle II με εξαιρετική ακρίβεια. Άραγε, η νέα μέτρηση ενισχύει την πίστη στην περιβόητη εξίσωση του Koide;

 Το πείραμα Belle II πραγματοποίησε την ακριβέστερη μέχρι σήμερα μέτρηση της μάζας του λεπτονίου τ. Στην δημοσίευση με τίτλο «Measurement of the τ-lepton mass with the Belle~II experiment» παρουσιάζεται μια μέτρηση της μάζας λεπτονίου τ που βασίστηκε σε ένα σύνολο περίπου 175 εκατομμυρίων γεγονότων της αντίδρασης e⁺e⁻→τ⁺τ⁻ που συλλέχθηκαν με τον ανιχνευτή Belle II στον επιταχυντή SuperKEKB όπου πραγματοποιήθηκαν οι συγκρούσεις e⁺e⁻ σε ενέργεια κέντρου μάζας 10,579 GeV. Η μάζα του λεπτονίου τ που μετρήθηκε είναι: m_τ = 1777,09 ± 0,08 ± 0,11 MeV/c² όπου το πρώτο σφάλμα είναι το στατιστικό και το δεύτερο το συστηματικό. Επομένως, m_τ =1777,09 ± 0,14 MeV/c².

Ο «αιώνιος γυρισμός» του Νίτσε και το «θεώρημα επανάληψης» του Πουανκαρέ

Γράφει ο Νίκος Καζαντζάκης στην «Αναφορά στον Γκρέκο», συνεπαρμένος από την φιλοσοφία του Γερμανού φιλοσόφου Φρήντριχ Νίτσε:

 «….o χρόνος, συλλογίστηκες είναι απεριόριστος˙ η ύλη είναι περιορισμένη˙ αναγκαστικά λοιπόν θα ’ρθει πάλι στιγμή που όλοι ετούτοι οι συνδυασμοί της ύλης θα ξαναγεννηθούν οι ίδιοι, οι απαράλλαχτοι. Ύστερα από χιλιάδες αιώνες ένας άνθρωπος σαν και μένα, εγώ ο ίδιος, θα σταθώ πάλι στο βράχο τούτον τον ίδιο και θα ξανάβρω την ίδια ιδέα. Κι όχι μονάχα μια φορά, αναρίθμητες φορές˙ καμιά λοιπόν ελπίδα το μελλούμενο να ’ναι καλύτερο, καμιά σωτηρία˙ πάντα οι ίδιοι, απαράλλαχτοι, θα στριφογυρίζουμε στον τροχό του χρόνου. Και τα πιο εφήμερα καταντούν έτσι αιώνια, κι η πιο ασήμαντη πράξη παίρνει ανυπολόγιστη πια σημασία…..«

H έννοια του «αιώνιου γυρισμού» ή «αιώνιας επιστροφής» του Νίτσε εμφανίζεται για πρώτη φορά στον αφορισμό 341 της “Χαρούμενης Επιστήμης” ως ένα υποθετικό ερώτημα:
«Το πιο βαρύ βάρος 
Κι αν μια μέρα ή μια νύχτα, ερχόταν ένας δαίμονας και γλιστρούσε μέσα στην υπέρτατη μοναξιά σου και σούλεγε: «Αυτή τη ζωή, όπως την έζησες και την ζεις ως τα τώρα, πρέπει να την ξαναρχίσεις από την αρχή, και να την ξαναρχίζεις αδιάκοπα˙ χωρίς τίποτα το καινούργιο˙ αντίθετα, μάλιστα! Ο παραμικρός πόνος, η παραμικρή ευχαρίστηση, η παραμικρή σκέψη, ο παραμικρός στεναγμός, όλα όσα ένιωσες στη ζωή σου θα ξαναρθούν, κάθε τι το άρρητα μεγάλο και το άρρητα μικρό που έχει μέσα της, όλα θα ξαναρθούν, και θα ξαναρθούν με την ίδια σειρά, με την ίδια ανελέητη διαδοχή…. κι αυτή η αράχνη θα ξαναρθεί, κι αυτό το σεληνόφωτο ανάμεσα στα δέντρα, κι αυτή η στιγμή, κι εγώ ο ίδιος! Η αιώνια κλεψύδρα της ζωής θα ξαναγυρίζει ακατάπαυστα, κι εσύ μαζί της, απειροελάχιστη σκόνη των σκονών!»… Δεν θάπεφτες κατάχαμα, δεν θάτριζες τα δόντια σου και δεν θα καταριώσουν αυτό το δαίμονα; Εκτός πια, αν έχεις ζήσει κάποια θαυμαστή στιγμή, οπότε θα του απαντούσες: «Είσαι θεός˙ ποτές μου δεν άκουσα τόσο θείο λόγο!»

Φρήντριχ Νίτσε 1844 – 1900

Κι αν σου γινόταν έμμονη αυτή η σκέψη, ίσως θα σε μεταμόρφωνε, κι ίσως και να σ’ εκμηδένιζε˙ και θ’ αναρωτιώσουν για το κάθε τι: «Το θέλεις αυτό; το ξαναθέλεις; μια φορά; πάντα; επ’ άπειρον;» κι αυτό το ερώτημα θα βάραινε επάνω σου με αποφασιστικό και τρομερό βάρος! Ή πάλι, Άχ πόσο θάπρεπε ν’ αγαπάς τον εαυτό σου και τη ζωή, ώστε να μην ποθείς πια τίποτ’ άλλο απ’ αυτή την υπέρτατη κι αιώνια διαβεβαίωση!«

Ο Νίτσε αφιέρωσε αρκετά χρόνια μελετώντας την φυσική επιστήμη της εποχής του για να έχουν επιστημονικό υπόβαθρο οι φιλοσοφικές του ιδέες.
Η επιστημονική βάση του «αιώνιου γυρισμού» είναι ένα «αληθές» θεώρημα του Γάλλου μαθηματικού Henri Poincaré  το «θεώρημα επανάληψης» σύμφωνα με το οποίο:
«Ένα σύστημα πεπερασμένης ενέργειας, περιορισμένο σε έναν πεπερασμένο όγκο, μετά από ένα αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα, επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση».

Henri Poincaré 1854 -1912

Κατά συνέπεια εφόσον ο αριθμός των συστατικών του σύμπαντος είναι πεπερασμένος, μπορεί να σχηματίσει πεπερασμένο μόνον πλήθος διαφορετικών συνδυασμών. Αφού σχηματιστούν όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί, τα συστατικά του σύμπαντος επιστρέφουν «αναγκαστικά» κάποτε στην αρχική τους κατάσταση. Και αυτό συμβαίνει άπειρες φορές, εφόσον έχουμε στη διάθεσή μας άπειρο χρόνο…

Το υδρογόνο, αν του δοθεί αρκετός χρόνος, μετατρέπεται σε ανθρώπους

 Ως «χλωμή μπλε κουκκίδα» αναφέρεται η φωτογραφία της Γης που τραβήχτηκε πριν από 33 χρόνια, στις 6 Ιουνίου 1990, από το Voyager 1, όταν αυτό απείχε από την Γη απόσταση 6,5 δισεκατομμύρια χιλιόμετρα:

Η Γη φαίνεται στην φωτογραφία ως μια χλωμή κουκκίδα

Βλέποντας αυτή τη φωτογραφία συνειδητοποιούμε την ασημαντότητα της Γης μέσα σε ένα ιλλιγιωδώς τεράστιο και διαστελλόμενο σύμπαν. Γινόμαστε περισσότερο ταπεινοί και λιγότερο αλαζόνες. Σ’ αυτό το τρομακτικό σύμπαν με ~10¹² γαλαξίες, ~10²⁴ άστρα και  ~10²⁵ πλανήτες, υπάρχει (τουλάχιστον) μια μηδαμινά ελάχιστη κουκκίδα όπου η ύλη απέκτησε αυτεπίγνωση και γεννήθηκε η συνείδηση της συνείδησης. Επιβεβαιώνοντας αυτό που είχε πει κάποτε ο αστρονόμος-κοσμολόγος Edward Robert Harrison, ότι το υδρογόνο, αν του δοθεί αρκετός χρόνος, μετατρέπεται σε ανθρώπους.

Η αδιαβατική μεταβολή ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή

Θεωρούμε έναν απλό αρμονικό ταλαντωτή για τον οποίο: $ \Sigma F=ma=-Dx$ ή $ \frac{d^{2}x((t)}{dt^{2}}+\omega^{2}x(t)=0$, όπου $ \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}$, η κυκλική ιδιοσυχνότητά του. Το ερώτημα που τίθεται είναι το εξής: Τι συμβαίνει όταν με τον κατάλληλο τρόπο μεταβάλλουμε αργά τη κυκλική συχνότητα του ταλαντωτή;

Για να πάρουμε μια άμεση απάντηση πρέπει να λύσουμε την εξίσωση: $ x''(t) +\omega^{2}(t) x(t)=0$, η οποία συνήθως είναι αρκετά δύσκολη. Καταφεύγοντας στη ... βιβλιογραφία θα διαπιστώσουμε ότι σε τέτοιου είδους κινήσεις υπάρχουν κάποιες διατηρήσιμες ποσότητες. Αποδεικνύεται ότι καθώς μεταβάλλεται το πλάτος και η ενέργεια του ταλαντωτή, ο λόγος της ενέργειας ως προς την συχνότητά του παραμένει σταθερός. Δηλαδή, $ I=\frac{E(t)}{\omega(t)}=\sigma \tau a \theta$. Το μέγεθος αυτό είναι γνωστό ως αδιαβατικό αναλλοίωτο, εξού και ο τίτλος της ανάρτησης. Πώς λοιπόν αποδεικνύεται ότι το μέγεθος $ I$ παραμένει σταθερό όταν μεταβάλλεται η συχνότητα του ταλαντωτή;