Πως δημιουργείται το στοιχείο του άνθρακα στο Σύμπαν

 Οι παρατηρούμενες ποσότητες του άνθρακα-12 στο σύμπαν (πρόκειται για το τέταρτο σε αφθονία στοιχείο του σύμπαντος) δεν μπορούν να εξηγηθούν από την πυρηνοσύνθεση που πραγματοποιήθηκε στην διάρκεια των πρώτων λεπτών της Μεγάλης Έκρηξης. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι δεν υπάρχουν σταθεροί πυρήνες με μαζικούς αριθμούς Α=5 και Α=8. Οι αστροφυσικοί έχουν δείξει, όπως θα δούμε στη συνέχεια, ότι  οι παρατηρούμενες ποσότητες του άνθρακα-12 δημιουργήθηκαν (και δημιουργούνται ακόμη) στο εσωτερικό των άστρων.

Αρχικά δυο πυρήνες ηλίου σχηματίζουν έναν πυρήνα βηρυλλίου. Στη συνέχεια ο πυρήνας βηρυλλίου ενώνεται με έναν πυρήνα ηλίου και σχηματίζει άνθρακα. Ο Fred Hoyle υπέθεσε ότι στο δεύτερο βήμα της διαδικασίας υπάρχει συντονισμός

Αλλά ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή. Η πηγή ενέργειας που συντηρεί σήμερα την λαμπρότητα άστρων όπως ο Ήλιος είναι η πυρηνική σύντηξη. Σύντηξη είναι η διαδικασία κατά την οποία από ελαφρούς πυρήνες παράγονται βαρύτεροι και ταυτόχρονα απελευθερώνεται ενέργεια. Στο εσωτερικό άστρων όπως ο Ήλιος μας οι πυρηνικές αντιδράσεις σύντηξης παράγουν συνολικά έναν πυρήνα ηλίου-4 (σωμάτιο α) από τέσσερις πυρήνες υδρογόνου :

4¹H → ⁴Ηe

Τι συμβαίνει όταν ένα άστρο έχει καταναλώσει το καύσιμο υδρογόνο, μετατρέποντάς το σε ήλιο; Πως παρακάμπτεται το εμπόδιο – που εμφανίστηκε στην αρχέγονη πυρηνοσύνθεση – της μη σταθερότητας των ενδιάμεσων πυρήνων με μαζικούς αριθμούς Α=5 και Α=8;
Ενώ η ταυτόχρονη αλληλεπίδραση τριών σωματίων α (πυρήνες ηλίου-4) είναι δυνατή ενεργειακά, έτσι ώστε να σχηματιστεί ένας πυρήνας άνθρακα-12, η πιθανότητα πραγματοποίησης αυτής της απευθείας διαδικασίας είναι πολύ μικρή σε σχέση με τις παρατηρούμενες ποσότητες του άνθρακα-12…..

Ο συντονισμός που δημιούργησε το 25% της ύπαρξής μας

Η πυρηνική σύντηξη δευτερίου-τριτίου οδήγησε στον σχηματισμό του αρχέγονου ηλίου που αποτελεί το 25% της βαρυονικής ύλης του σύμπαντος

Κατά τη διάρκεια της αρχέγονης πυρηνοσύνθεσης στα πρώτα λεπτά της Μεγάλης Έκρηξης, η αντίδραση σύντηξης δευτερίου-τριτίου ²Η+³Η→n+⁴Ηe, είναι υπεύθυνη για το 99% του αρχέγονου ⁴He. Κρίσιμο ρόλο γι αυτό παίζει η ύπαρξη ενός συντονισμού που αντιστοιχεί στην διεγερμένη ενεργειακή κατάσταση του ενδιάμεσου σύνθετου πυρήνα ⁵He. Αυτό είναι γνωστό εδώ και δεκαετίες και έχει τεκμηριωθεί καλά στην επιστημονική βιβλιογραφία.

Ωστόσο, αυτή η σημαντική πυρηνική αντίδραση παραμένει άγνωστη στους περισσότερους. Το ήλιο που προέκυψε διαμέσου αυτής, στη συνέχεια αποτέλεσε πηγή για την σύνθεση στο εσωτερικό άστρων ενός ποσοστού ≥25% του άνθρακα και άλλων βαρύτερων στοιχείων από τα οποία σχηματίστηκε ο κόσμος που βλέπουμε γύρω μας. Επί πλέον, χωρίς αυτόν τον συντονισμό, η παραγωγή της πολυπόθητης ελεγχόμενης ενέργειας σύντηξης στα εργαστήρια θα ήταν απρόσιτη.

Aναπαράσταση των βασικών διαδρομών της αρχέγονης πυρηνοσύνθεσης στα πρώτα λεπτά μετά την Μεγάλη Έκρηξη και η επακόλουθη πυρηνική αντίδραση των τρία άλφα στο εσωτερικό άστρων, μετά από εκατοντάδες εκατομμύρια ή δισεκατομμύρια χρόνια. Με κόκκινο φαίνεται η κυρίαρχη διαδρομή, βασικός κρίκος της οποίας είναι η πυρηνική αντίδραση σύντηξης δευτερίου-τριτίου (D-T).

Κβαντομηχανική ελεύθερη πτώση

Ένα από τα απλούστερα και σημαντικότερα προβλήματα της κλασικής φυσικής, είναι η μελέτη της κίνησης μιας μπάλας μάζας m που αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος H και ανακλάται ελαστικά από το οριζόντιο επίπεδο έδαφος.
Aν g είναι η σταθερή επιτάχυνση της βαρύτητας (ή η ένταση του ομογενούς βαρυτικού πεδίου) και δεν υπάρχει αντίσταση του αέρα, τότε η συνολική της μηχανική ενέργεια παραμένει συνεχώς σταθερή: $E=K+U=\dfrac{1}{2}mv^{2} + mgx=mgH$. Όταν η μπάλα απέχει απόσταση x από το έδαφος, έχει ταχύτητα: $ v=\sqrt{2g(H-x)}$. Η συνολική ενέργεια της μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο συνεχές διάστημα τιμών $ 0 \leq E=mgH< \infty$ για $0 \leq H < \infty$ και προφανώς, η ελάχιστη τιμή της σ' αυτό το συνεχές εύρος είναι Ε=0, όταν H=0.

Όμως, αν αντί για ένα μακροσκοπικό αντικείμενο όπως η μπάλα, πέφτει ελεύθερα και αναπηδά ελαστικά ένα μικροσκοπικό σωματίδιο, τότε η συμπεριφορά του θα είναι κβαντομηχανική. Η ενέργεια του σωματιδίου θα παίρνει διακριτές τιμές και η ελάχιστη τιμή της θα είναι διάφορη του μηδενός.

Η κυματική φύση της σκοτεινής ύλης

 Η σκοτεινή ύλη θα μπορούσε να αποτελείται από σωματίδια με τόσο μικρή μάζα, ώστε να κυριαρχεί η κυματική φύση τους

 Αν και οι κινήσεις των γαλαξιών μας δίνουν ενδείξεις ότι η σκοτεινή ύλη σίγουρα υπάρχει, μέχρι σήμερα οι επιστήμονες δεν έχουν εντοπίσει άμεσα αυτό το αόρατο είδος ύλης και δεν έχουν ίδέα από τι μπορεί να αποτελείται.

Το περιεχόμενο του σύμπαντος, σύμφωνα με τις μετρήσεις του διαστημικού τηλεσκοπίου Planck (Μάρτιος 2013)

 Η θεωρία που επικράτησε σχετικά με την φύση της σκοτεινής ύλης τις τελευταίες δεκαετίες ήταν ότι αποτελείται από σωματίδια που δρουν σαν μικρές, μικροσκοπικές μπάλες που κινούνται στο διάστημα. Η ιδέα αυτή ακούγεται λογική αν λάβουμε υπόψη ότι η γνωστή μας ύλη – ή ύλη από την οποία αποτελούμαστε και βλέπουμε γύρω μας, συνίσταται από σωματίδια. Αλλά τα τελευταία χρόνια, αρκετοί φυσικοί υποστηρίζουν ότι η σκοτεινή ύλη υπάρχει σε μια διαφορετική μορφή: ως αόρατα κύματα.

 Το να κυριαρχεί η κυματική φύση της σκοτεινής ύλης σημαίνει ότι τα σωματίδιά της είναι εξαιρετικά ελαφριά – ένα εκατομμυριοστό ή ακόμα και ένα δισεκατομμυριοστό της μάζας ενός ηλεκτρονίου.

Η Ελιγολάνδη με το μοναδικό της δέντρο

 Το καλοκαίρι του 1925 ⁽ⁱ⁾, ένας εικοσιτριάχρονος Γερμανός πέρασε μέρες αγωνιώδους μοναξιάς σε ένα ανεμοδαρμένο νησί της Βόρειας Θάλασσας: την Ελιγολάνδη⁽ⁱⁱ⁾ ή Χέλγκολαντ (Helgoland) – το Ιερό νησί. Σ’ αυτό το νησί, συνέλαβε την μαθηματική δομή της κβαντικής φυσικής. Ίσως την πιο εντυπωσιακή επιστημονική επανάσταση όλων των εποχών. Το όνομα του νεαρού ήταν Βέρνερ Χάιζενμπεργκ (Werner Heisenberg).

Max Jensen – Ακτή ανοιχτά της Ελιγολάνδης

Ενώ εργαζόταν στο πανεπιστήμιο του Γκαίτιγκεν, μια κρίση αλεργίας στη γύρη παραμόρφωσε το πρόσωπό του κάνοντάς το αγνώριστο. Αδυνατώντας να αντέξει έστω και μια μέρα καλοκαιρινής άνοιξης παραπάνω, μπήκε σε ένα πλοίο για να φύγει όσο το δυνατόν πιο μακριά έχοντας στο μυαλό του τα ανεξήγητα προβλήματα της σύγχρονης φυσικής: Πως εξηγείται η συμπεριφορά των ατόμων; Πώς κινούνται τα ηλεκτρόνια; Γιατί φαίνονται να έχουν συγκεκριμένες μόνο τροχιές; Γιατί κάνουν αυτά τα ξεκάρφωτα «άλματα» από τη μια τροχιά στην άλλη; Ποια δύναμη θα μπορούσε πθανώς να προκαλέσει τέτοια παράξενη συμπεριφορά; Τα ερωτήματα του είχαν γίνει εμμονή. Όπως και οι άλλοι, είχε δοκιμάσει τα πάντα. Τίποτα δεν λειτούργησε. Φαινόταν ότι δεν υπήρχε λογική δύναμη ικανή να καθοδηγήσει τα ηλεκτρόνια στις παράξενες τροχιές του Μπορ και στα περίεργα άλματά του. Κι όμως αυτές οι τροχιές κι αυτά τα άλματα προέβλεπαν σωστά τα ατομικά φαινόμενα. Κατέληξε στην κατάσταση μιας απόγνωσης – εκείνης που μας ωθεί να αναζητήσουμε ακραίες λύσεις.

Ο Χαίζενμπεργκ ταλαιπωρημένος από την αλλεργία του στη γύρη φτάνει στην Ελιγολάνδη η οποία διαθέτει ελάχιστη βλάστηση. Δεν έχει μαζί του πολλές αποσκευές: μια αλλαξιά ρούχα, ένα ζευγάρι παπούτσια πεζοπορίας, το Δυτικόανατολικό ντιβάνι – μια συλλογή ποιημάτων του Γκαίτε και τους υπολογισμούς του για τις τροχιές των ηλεκτρονίων. Βρήκε ένα δωμάτιο, η ιδιοκτήτρια του οποίου μόλις αντίκρυσε το παρμορφωμένο πρόσωπό του από την αλλεργία νόμισε ότι τον είχαν δείρει – γεγονός καθόλου σπάνιο στην Γερμανία του μεσοπολέμου.

Η προέλευση της αρχής της αβεβαιότητας

 

Για να εντοπίσουμε την θέση ενός αντικειμένου παρατηρώντας το, πρέπει να το φωτίσουμε. Να ρίξουμε πάνω του φωτόνια, μερικά από τα οποία αφού προσκρούσουν στο αντικείμενο, θα ανακλαστούν και θα φτάσουν στα μάτια μας. Το φως, αν και σπάνια το αντιλαμβανόμαστε, συμπεριφέρεται και ως κύμα. Το μήκος κύματος του ορατού φωτός είναι της τάξης των 10⁻⁵ cm.
Τα μάτια μας δεν είναι τόσο ευαίσθητα για να διακρίνουν μια τόσο μικρή απόσταση, αλλά αυτή θα ήταν η καλύτερη ακρίβεια με την οποία θα μπορούσαμε να εντοπίσουμε ένα αντικείμενο χρησιμοποιώντας ορατό φως.

Αν τώρα θέλουμε να διεισδύσουμε στον υποατομικό μικρόκοσμο, πώς θα μπορούσαμε να εντοπίσουμε π.χ. έναν ατομικό πυρήνα;
Ένας τρόπος είναι να ρίξουμε πάνω του φωτόνια με πολύ μικρότερο μήκος κύματος. Tέτοια φωτόνια βρίσκονται στο δεξιό άκρο του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος - πρόκειται για τα φωτόνια των ακτίνων γάμμα.

Όμως τα φωτόνια εκτός από ενέργεια $E=hf=\dfrac{hc}{\lambda}$ διαθέτουν και ορμή $p=\dfrac{hf}{c}=\dfrac{h}{\lambda}$, ($h$ η σταθερά του Planck). Έτσι, για να εντοπίσουμε τη θέση του πυρήνα μέσα στο εύρος Δx, χρειαζόμαστε φωτόνια με μήκος κύματος λ τόσο μικρό, τουλάχιστον όσο το Δx, δηλαδή $\lambda =\dfrac{h}{p} \sim \Delta x $ (1)
Όταν βομβαρδίζουμε έναν πυρήνα με φωτόνια υψηλής ενέργειας, δίνουμε ώθηση στο πρωτόνιο και μεταβάλλεται η ορμή του. Χοντρικά μπορούμε να πούμε ότι η ορμή του πυρήνα γίνεται αβέβαιη κατά μια ποσότητα περίπου όση η ορμή του προσπίπτοντος φωτονίου: $\Delta p \sim p $ (2)
Επομένως, από τις σχέσεις (1) και (2) βλέπουμε ότι η αβεβαιότητα στην ορμή του πυρήνα συνδέεται με την αβεβαιότητα στη θέση του με την εξίσωση: $ \Delta x \sim h/\Delta p$ ή $\Delta p \Delta x \sim h $.
Η τελευταία εξίσωση δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια προσεγγιστική έκφραση της αρχής της απροσδιοριστίας που συσχετίζει την αβεβαιότητα της ορμής με την αβεβαιότητα της θέσης.

Η αρχή της αβεβαιότητας ορμής-θέσης εκφράζεται από την σχέση: $ \Delta p \cdot \Delta x \geq \dfrac{\hbar}{2} = \dfrac{h}{4 \pi} $, όπου $ \Delta p$ η αβεβαιότητα στην ορμή, $ \Delta x$ η αβεβαιότητα στην θέση και $ \hbar=h/2 \pi$ .

Ένας δεύτερος τρόπος για να προσδιορίσουμε τη θέση ενός ατομικού πυρήνα είναι να ρίξουμε πάνω του ... ηλεκτρόνια, μερικά από τα οποία θα αναπηδήσουν από την σύγκρουση και στη συνέχεια θα καταγραφούν σε έναν ανιχνευτή. Σύμφωνα με τον πρίγκιπα de Broglie, το ηλεκτρόνιο συμπεριφέρεται και ως κύμα, με μήκος κύματος λ αντιστρόφως ανάλογο με την ορμή του ηλεκτρονίου p, δηλαδή $\lambda = h/p $.
Όμως όταν ανιχνεύουμε κάτι χρησιμοποιώντας ένα κύμα, είναι σαφές ότι δεν μπορoύμε να εντοπίσουμε τη θέση του με ακρίβεια καλύτερη από την τάξη μεγέθους του μήκους κύματος του κύματος. Έτσι, για να εντοπίσουμε τη θέση του πυρήνα μέσα στο εύρος Δx, θα χρειαστoούμε ηλεκτρόνια με μήκος κύματος λ τόσο μικρό, τουλάχιστον όσο το Δx. Αλλά αυτό δεν είναι πρόβλημα. Μπορούμε να τα επιταχύνουμε ώστε να αποκτήσουν μεγαλύτερη ορμή και επομένως μικρότερο μήκος κύματος $ \lambda \sim h/p \sim \Delta x$.
Αλλά όταν βομβαρδίζουμε έναν πυρήνα με ηλεκτρόνια υψηλής ενέργειας, μεταβάλλεται η ορμή του - δηλαδή, η ορμή του πυρήνα γίνεται αβέβαιη κατά μία ποσότητα $\Delta p \sim p$. Επομένως, όπως και προηγουμένως με τα φωτόνια, η αβεβαιότητα στην ορμή και η αβεβαιότητα στη θέση του πυρήνα ικανοποιούν την προσεγγιστική έκφραση της αρχής της απροσδιοριστίας: $ \Delta p \Delta x \sim h $.

Συνοψίζοντας, μια έκφραση της αρχής αβεβαιότητας του Heisenberg προκύπτει από την σχέση της ορμής του φωτονίου με το μήκος κύματος του αντίστοιχου ηλεκτρομαγνητικού κύματος $(p=h/\lambda )$ ή από την αντίστοιχη σχέση που υπέθεσε ο πρίγκιψ de Broglie $ (\lambda = h/p)$ για να συνδέσει το μήκος κύματος της κυματικής συμπεριφοράς ενός σωματιδίου με την ορμή του.

 21/1/2023

Πως η κυκλοειδής καμπύλη περιγράφει την εξέλιξη του σύμπαντος

 Στο Acta Eruditorium τον Ιούνιο του 1696 (ίσως το πρώτο επιστημονικό περιοδικό) εμφανίστηκε ένα σημείωμα από τον διάσημο Ελβετό επιστήμονα Johann Bernoulli με τίτλο «Ένα νέο πρόβλημα που οι μαθηματικοί καλούνται να επιλύσουν», που το διατύπωνε ως εξής:

Έστω δυο δεδομένα σημεία Α και Γ σε ένα κατακόρυφο επίπεδο.

Να βρεθεί η καμπύλη την οποία πρέπει να διαγράψει ένα υλικό σημείο σημείο που κινείται στη διαδρομή ΑΓ υπό την επίδραση του βάρους του, έτσι ώστε, ξεκινώντας από το Α, να φτάσει στο Γ στον ελάχιστο χρόνο.

Πολλοί μαθηματικοί έλυσαν το πρόβλημα του Johann Bernoulli, όπως ο Lebniz, Jakob Bernoulli (ο αδελφός του Johann) και ίσως ίδιος ο Newton καθώς μια ανώνυμη λύση που στάλθηκε αποδίδεται σ’ αυτόν.
Όλοι κατέληγαν στο συμπέρασμα ότι η ζητούμενη «βραχυστόχρονη» είναι η κυκλοειδής καμπύλη. Η κυκλοειδής είναι η τροχιά που διαγράφει κάποιο συγκεκριμένο σημείο ενός κύκλου που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία γραμμή.

 Το όνομα της κυκλοειδούς (ως καμπύλης που σχετίζεται με τον κύκλο) εμφανίστηκε για πρώτη φορά στις εργασίες του Γαλιλαίου σαν επεξηγηματικό παράδειγμα. Την ανακάλυψαν ξανά στη Γαλλία οι Mersenne, Roberval, Descartes και Pascal και την βάφτισαν roulette.
Οι κορυφαίοι μαθηματικοί του 17ου αιώνα μελέτησαν πλήρως την κυκλοειδή καμπύλη προσδιορίζοντας τις εξισώσεις των εφαπτομένων της, τα εμβαδά των χωρίων που περικλείονται από αυτήν και τον άξονα των τετμημένων, τα μήκη των τόξων της, κ.ο.κ.
Και στη συνέχεια εμφανίστηκε άλλη μια έκπληξη. Aποδείχθηκε τελικά ότι αυτή, και όχι – όπως έγραφε ο Γαλιλαίος – κύκλος, έχει την εξής ιδιότητα: ένα σώμα που ολισθαίνει κατά μήκος της χωρίς τριβές ταλαντώνεται με περίοδο που δεν επηρεάζεται από την αρχική του θέση. Αυτή η ιδιότητα του ταυτόχρονου (ή του ισόχρονου) της κυκλοειδούς ανακαλύφθηκε από τον Huygens και προκάλεσε ενθουσιασμό. Ο ίδιος ο Huygens έγραψε ότι «η ανακάλυψη [αυτής] της ιδιότητας της κυκλοειδούς συνιστά τον πλέον ποθητό καρπό, ένα είδος αποκορυφώματος της διδασκαλίας του Γαλιλαίου για την πτώση των σωμάτων».

(Περισσότερη μαθηματική ανάλυση σχετικά με τις ιδιότητες του «βραχυστόχρονου» και του «ισόχρονου» της κυκλοειδούς καμπύλης μπορείτε να διαβάσετε ΕΔΩ)
Ο ενθουσιασμός όμως για την κυκλοειδή καμπύλη με το πέρασμα του χρόνου άρχισε να μειώνεται καθώς τελικά δεν ήταν το «εργαλείο» που θα έδινε απαντήσεις και σ’ άλλα θεμελιώδη προβλήματα της Φυσικής.
Η «απαξίωση» της κυκλοειδούς καμπύλης σήμερα είναι ακόμα μεγαλύτερη και όλο πιο σπάνια την συναντάει κανείς σε βιβλία φυσικής.

Η κυκλοειδής καμπύλη αποτελεί λύση της εξίσωσης Friedmann

Κι όμως η κυκλοειδής καμπύλη έχει περισσότερες εφαρμογές.
Και η εντυπωσιακότερη απ’ όλες να είναι το γεγονός ότι αποτελεί λύση της εξίσωσης Friedmann που περιγράφει την χρονική εξέλιξη του μεγέθους του σύμπαντος.
Η εξίσωση Friedmann προκύπτει από την επίλυση των εξισώσεων πεδίου της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας, θεωρώντας την ομογενή και ισότροπη μετρική Robertson-Walker.
Στην εξίσωση περιέχεται ο παράγοντας κλίμακας R(t), ο οποίος περιγράφει την χρονική εξέλιξη του μέγεθους του σύμπαντος ή πιο συγκεκριμένα την χρονική εξάρτηση κάθε τυπικού μήκους, όπως για παράδειγμα την απόσταση μεταξύ δυο γαλαξιών:

$ \left( \dfrac{dR}{dt} \right)^{2} = \dfrac{8}{3} \dfrac{\pi G \rho_{0}R^{2}_{0}}{R(t)}-kc^{2}$     (1)

όπου G η σταθερά της παγκόσμιας έλξης, ρ₀ και R₀ οι σημερινές τιμές της ενεργειακής πυκνότητας του σύμπαντος και του παράγοντα κλίμακας αντίστοιχα.
Ο γεωμετρικός παράγοντας k παίρνει τις τιμές k=0, +1 και -1, που καθορίζουν την γεωμετρία και την εξέλιξη του σύμπαντος.
Στην περίπτωση που k=+1 παρατηρούμε ότι η υπάρχει χρονική στιγμή t κατά την οποία ο παράγοντας κλίμακας R(t) εμφανίζει ένα μέγιστο.
Η μέγιστη τιμή $R_max$ υπολογίζεται πολύ εύκολα θέτοντας στην εξίσωση Friedmann, $dR(t)/dt=0$,

$R_{max}=\dfrac{8 \pi G \rho_{0} R^{3}_{0}}{3c^{2}}$  

Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση (1) έχουμε:

$ \dfrac{dR}{dt}=c \sqrt{\dfrac{R_{max}-R(t)}{R(t)}} \Rightarrow \int_{0}^{R} \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R_{max}-R}}dR = ct$

Το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται κάνοντας τον μετασχηματισμό $R=R_{max}\sin^{2}(\theta/2)$, παίρνοντας τελικά

$t(\theta)=\dfrac{R_{max}}{2c}(\theta - \sin \theta)$ και $R(\theta)=\dfrac{R_{max}}{2}(1- \cos \theta)$

Οι δυο αυτές εξισώσεις αποτελούν την παραμετρική έκφραση της κυκλοειδούς καμπύλης που περιγράφει το κλειστό σύμπαν (k=+1).

  Στο παραπάνω σχήμα βλέπουμε την εξέλιξη του R(t) για την περίπτωση του ανοιχτού σύμπαντος (k=-1, με τιμή παραμέτρου πυκνότητας Ω₀=0.5), την περίπτωση του επίπεδου (k=0 και Ω₀=1) και την περίπτωση που εξετάστηκε εδώ, το κλειστό σύμπαν (k=+1, με Ω₀=2).
Στην περίπτωση του κλειστού σύμπαντος το σύμπαν διαστέλλεται φθάνοντας σε μια μέγιστη «ακτίνα» Rmax και στη συνέχεια συστέλλεται μέχρι την Μεγάλη Σύνθλιψη (το αντίθετο της Μεγάλης Έκρηξης). Και η κυκλοειδής καμπύλη περιγράφει την «ακτίνα» αυτού του σύμπαντος συναρτήσει του χρόνου.

 21/01/2012

Κυκλώματα και μιγαδικοί αριθμοί

 Τα τρία βασικά στοιχεία που εμφανίζονται στα κυκλώματα εναλλασσομένου ρεύματος είναι: ο ωμικός αντιστάτης R, ο πυκνωτής χωρητικότητας C και το πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L.
Το καθένα από αυτά τα στοιχεία "δυσκολεύει" με τον δικό του τρόπο τη ροή του εναλλασσομένου ρεύματος, μια δυσκολία που εκφράζεται από την ωμική αντίσταση $R$ των αντιστατών, την χωρητική αντίσταση $ \dfrac{1}{C \omega}$ των πυκνωτών και την επαγωγική αντίσταση των πηνίων $L \omega$, όπου ω είναι η κυκλική συχνότητα του εναλλασσομένου ρεύματος (*)

Μπορούμε να μελετήσουμε πολύπλοκα ηλεκτρικά κυκλώματα εναλλασσομμένου ρεύματος, όπως το κύκλωμα του παραπάνω σχήματος, με διάφορους συνδυασμούς των τριών στοιχείων R, L και C, με το ίδιο τρόπο που θα τα μελετούσαμε αν είχαμε κύκλωμα συνεχούς ρεύματος με απλούς αντιστάτες. Aρκεί να εφαρμόσουμε την εξής αντιστοιχία όσον αφορά τις "αντιστάσεις" του κυκλώματος: $z_{R}=R $ , $ z_{L}=i\,L \omega $ και $ z_{C}=\dfrac{1}{i\,C \omega}=\dfrac{-i}{C \omega}$, όπου $ i \, (i^{2}=-1) $ η φανταστική μονάδα:

Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τρία παραδείγματα που εμφανίζονται στα σχολικά εγχειρίδια.

Α. Το κλασικό κύκλωμα R-L-C σε σειρά:

Όσον αφορά την συνολική εμπέδηση του κυκλώματος, αφού τα τρία στοιχεία συνδέονται σε σειρά έχουμε: $x z=z_{R}+z_{L}+z_{C}=R+i \, \left(L \omega - \dfrac{1}{C \omega} \right)$. Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού $latex z$ μας δίνει την γνωστή μας σχέση για την εμπέδηση του κυκλώματος R-L-C: $|z |=\sqrt{R^{2} + \left( L \omega - \dfrac{1}{C \omega} \right)^{2}}$, απ' όπου εύκολα προκύπτει η κυκλική συχνότητα $\omega_{0} = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ για την οποία η εμπέδηση του κυκλώματος γίνεται ελάχιστη και το πλάτος του ρεύματος μέγιστο (συντονισμός).

Β. Τα τρία στοιχεία R-L-C συνδέονται παράλληλα:

Εδώ η συνολική εμπέδηση του κυκλώματος θα είναι: $\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{z_{R}} + \dfrac{1}{z_{L}} + \dfrac{1}{z_{C}}$ ή σύμφωνα με τις προαναφερθείσες αντιστοιχίες: $\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{R} + i \, \left(C \omega - \dfrac{1}{L \omega} \right)$. Θεωρώντας το μέτρο των μιγαδικών αριθμών παίρνουμε την γνωστή σχέση: $ \, \, \, \, |z|= \dfrac{1}{\sqrt{ \dfrac{1}{R^{2}} + \left( L \omega - \dfrac{1}{C \omega} \right)^{2}}}$
Στην περίπτωση αυτή όταν η συχνότητα παίρνει την τιμή $\omega_{0} = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, η ολική εμπέδηση του κυκλώματος γίνεται μέγιστη και το πλάτος του ρεύματος ελάχιστο.

Γ. Τελευταίο παράδειγμα είναι η παρακάτω παράλληλη σύνδεση:

O αντιστάτης και το πηνίο συνδέονται σε σειρά, οπότε $ z_{RL}=z_{R}+z_{L}=R+iL \omega$. Η συνολική εμπέδηση θα είναι: $\dfrac{1}{z}= \dfrac{1}{z_{RL}} + \dfrac{1}{z_{C}}=\dfrac{1}{R+iL \omega} + iC \omega$ ή $ \dfrac{1}{z}=\dfrac{R}{R^{2}+L^{2} \omega^{2}} +i \left( C \omega - \dfrac{L \omega}{R^{2}+L^{2} \omega^{2}} \right)$. Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού $z$ θα μας δώσει την οικεία σχέση για την εμπέδηση του κυκλώματος: $|z|=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{R^{2}}{(R^{2}+L^{2} \omega^{2})^{2}}+ \left(C \omega - \dfrac{L \omega}{R^{2}+L^{2} \omega^{2}} \right)^{2}}}$. Παρατηρούμε ότι η ολική εμπέδηση του κυκλώματος γίνεται μέγιστη όταν $ C \omega = \dfrac{L \omega}{R^{2}+L^{2} \omega^{2}}$. Από την σχέση αυτή παίρνουμε την συχνότητα (αντι)συντονισμού για την οποία το πλάτος του ρεύματος γίνεται ελάχιστο ή την απαιτούμενη τιμή της χωρητικότητας για αυτόν τον συντονισμό: $ C=\dfrac{L}{R^{2}+L^{2} \omega^{2}}$

(*) άσκηση: Εξηγείστε ποιοτικά γιατί σε ένα κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος:
(α) η επαγωγική αντίσταση(εμπέδηση) του πηνίου είναι ανάλογη του συντελεστή αυτεπαγωγής του, ενώ η χωρητική αντίσταση του πυκνωτή είναι αντιστρόφως ανάλογη της χωρητικότητάς του, και
(β) γιατί η επαγωγική αντίσταση (εμπέδηση) του πηνίου είναι ανάλογη της κυκλικής συχνότητας του

 20/12/2022

Μια κάποια κλιματική ευαισθησία

Ο Svante Arrhenius γύρω στο 1910

Ο Σουηδός φυσικοχημικός Svante August Arrhenius ήταν ο πρώτος που υπολόγισε την σχέση της μέσης θερμοκρασίας του πλανήτη με την συγκέντρωση του διοξειδίου του άνθρακα στην ατμόσφαιρα, στην εργασία του με τίτλο 'On the Influence of Carbonic Acid in the Air upon the Temperature of the Ground'. Στα συμπεράσματα της εργασίας του (υπερ)εκτιμά ότι ο διπλασιασμός της συγκέντρωσης του διοξειδίου του άνθρακα στην ατμόσφαιρα θα προκαλέσει μια αύξηση στην μέση θερμοκρασία της γήινης επιφάνειας κατά 5 έως 6 ^oC. Επιπλέον, από τους πίνακες που παραθέτει φαίνεται μια λογαριθμική σχέση μεταξύ της αύξησης θερμοκρασίας συναρτήσει της συγκέντρωσης του διοξειδίου του άνθρακα.

Η ελαφρότητα του συνόλου

Γιατί ένα σύστημα έχει μικρότερη μάζα από το άθροισμα μαζών των μεμονωμένων συστατικών του; 

Αν βάλετε σε μια ζυγαριά 10 κύβους, ο καθένας με μάζα 10g, τότε προφανώς θα διαπιστώσετε ότι η συνολική μάζα τους είναι 100g. Aν η ζυγαριά δείξει, ας πούμε, 92 g, τότε θα υποθέσετε απλά ότι ένας κύβος ή κομμάτι κύβου παράπεσε έξω από την ζυγαριά. Όμως αν πάτε στον μικρόκοσμο και ζυγίσετε π.χ. το απλούστερο άτομο στον κόσμο, ένα άτομο υδρογόνου (τα συστατικά του οποίου είναι ένα ηλεκτρόνιο και ένα πρωτόνιο), τότε θα δείτε με έκπληξη ότι η μάζα του είναι μικρότερη από το άθροισμα των μαζών του πρωτονίου και του ηλεκτρονίου σε ελεύθερη κατάσταση. Πως γίνεται το άτομο να έχει μικρότερη μάζα από τα συστατικά του;

 

Το σύστημα του ατόμου του υδρογόνου μοιάζει με το φανταστικό σύστημα μαγνητών της παραπάνω εικόνας. Οι μαγνήτες όταν είναι απομακρυσμένοι ο ένας από τον άλλον ζυγίζουν περισσότερο, παρά όταν είναι ενωμένοι μεταξύ τους ( …στην πραγματικότητα και το σύστημα των μαγνητών θα εμφανίσει έλλειμα μάζας, αλλά μη ανιχνεύσιμο από την ταπεινή ζυγαριά, οπότε στην παραπάνω εικόνα μόνο τα νούμερα είναι φανταστικά).

Η ευτυχέστερη στιγμή του Αϊνστάιν

 

Το «εύρηκα» του Αϊνστάιν: για έναν παρατηρητή σε ελεύθερη πτώση, δεν υπάρχει βαρύτητα. Καθώς ένας παρατηρητής στέκεται στο πάτωμα ενός δωματίου, δέχεται δυο δυνάμεις: η μία είναι η δύναμη του βάρους και η άλλη η δύναμη στήριξης του πατώματος στα πόδια του. Αν το πάτωμα του διαμερίσματος καταρρεύσει ο παρατηρητής γίνεται «αβαρής» – η ζυγαριά δείχνει μηδέν. Μόλις συναντήσει το δάπεδο του αμέσως από κάτω διαμερίσματος, η βαρύτητα θα επανεμφανιστεί. Εν τω μεταξύ όμως θα είναι ένας αδρανειακός παρατηρητής.

Από την απλή παρατήρηση ότι ένα άτομο που πέφτει ελεύθερα δεν αισθάνεται το βαρυτικό πεδίο προέκυψε το μεγαλύτερο άλμα στην σκέψη του Αϊνστάιν, την συνειδητοποίηση ότι η βαρύτητα μπορεί να είναι ισοδύναμη με την επιτάχυνση. Ότι η βαρύτητα επηρεάζει όλα τα σώματα με τον ίδιο τρόπο επειδή είναι μια ιδιότητα του χωροχρόνου (η καμπυλότητά του) και όχι μια δύναμη που διαδίδεται μέσω του χωροχρόνου (όπως ηλεκτρομαγνητικές ή πυρηνικές δυνάμεις). Όταν εκφράστηκε με τρόπο που είναι ξεκάθαρα ανεξάρτητος από την επιλογή των συντεταγμένων, αυτή η ιδέα εξελίχθηκε στην Γενική Θεωρία της Σχετικότητας.

Η συνάρτηση του Lev Landau

 Υπάρχουν κάποιες χαρακτηριστικές μαθηματικές συναρτήσεις που φέρουν το όνομα των φυσικών που τις ανακάλυψαν. Όπως η κλιμακωτή συνάρτηση του Heaviside που εισήχθη από τον Oliver Heaviside για να υπολογίσει το ηλεκτρικό ρεύμα όταν κλείνει ένα ηλεκτρικό κύκλωμα. Άλλο πολύ γνωστό παράδειγμα είναι η συνάρτηση Dirac (γνωστή και ως συνάρτηση δέλτα) που εισήχθη από τον Paul Dirac, έναν από τους μεγαλύτερους θεωρητικούς φυσικούς του 20ου αιώνα.
Μια λιγότερο γνωστή συνάρτηση είναι η συνάρτηση που φέρει το όνομα ενός επίσης μεγάλου φυσικού του περασμένου αιώνα, του Lev Landau.

To 1944 o Landau δημοσίευσε ένα άρθρο [On the energy loss of fast particles by ionization] σχετικά με την κατανομή της απώλειας ενέργειας φορτισμένων σωματιδίων που διασχίζουν ένα κομμάτι ύλης. Το άρθρο αυτό αποτέλεσε σημείο αναφοράς για την φυσική της αλληλεπίδρασης φορτισμένων σωματιδίων με τα ύλη, διότι ακολουθούσε τα δύο κριτήρια που χαρακτηρίζουν μια εξαιρετική θεωρητική εργασία:
• «Ο φυσικός νόμος πρέπει να έχει μαθηματική ομορφιά» (P.A.M. Dirac)
• «Όλα πρέπει να είναι όσο το δυνατόν πιο απλά, αλλά όχι απλούστατα» (Α. Αϊνστάιν).

H συνάρτηση κατανομής του Landau αναπαράγεται από το πρόγραμμα Mathematica με την εντολή LandauDistribution[μ,σ], όπου μ η παράμετρος θέσης και σ η παράμετρος κλίμακας

  Ο Landau θεώρησε σωματίδια με ταχύτητες πολύ κοντά στην ταχύτητα του φωτός (π.χ. ηλεκτρόνια) που χάνουν ενέργεια εξαιτίας του ιονισμού του μέσου που διασχίζουν. Αυτή η διαδικασία που χαρακτηρίζεται από ένα μικρό μέγεθος της απώλειας ενέργειας ανά μεμονωμένη δράση σκέδασης των ταχέων ηλεκτρονίων από τα ηλεκτρόνια της ύλης.
Υπέθεσε (για λόγους απλότητας!) ότι οι απώλειες είναι ανεξάρτητες από την ενέργεια των σωματιδίων που διασχίζουν την ύλη. Αυτή η κρίσιμη υπόθεση έδωσε ένα λαμπρό αποτέλεσμα: την συνάρτηση της κατανομής Landau, η οποία χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα στο πεδίο της αλληλεπίδρασης των ταχέων σωματιδίων με την ύλη και όχι μόνο.

Σύγκριση της γκαουσιανής κατανομής με την κατανομή Landau. To μέγιστο της συνάρτησης Landau βρίσκεται σε μικρότερη ενέργεια και παρουσιάζει μια μεγάλη ουρά προς τις υψηλότερες ενέργειες.

  Σε μια πρόσφατη δημοσίευση των Bulyak και Shul’ga παρουσιάζεται η ιστορία και η ουσία της συνάρτησης κατανομής Landau, δίνοντας έμφαση στις βασικές παραδοχές και απλοποιήσεις που επέτρεψαν την κατασκευή της. Το άρθρο ολοκληρώνεται με τις επεκτάσεις της συνάρτησης Landau.
Μπορείτε να διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες ΕΔΩ: Landau distribution of ionization losses: history, importance, extensions 

 16/9/2022