Η ευτυχέστερη στιγμή του Αϊνστάιν

 

Το «εύρηκα» του Αϊνστάιν: για έναν παρατηρητή σε ελεύθερη πτώση, δεν υπάρχει βαρύτητα. Καθώς ένας παρατηρητής στέκεται στο πάτωμα ενός δωματίου, δέχεται δυο δυνάμεις: η μία είναι η δύναμη του βάρους και η άλλη η δύναμη στήριξης του πατώματος στα πόδια του. Αν το πάτωμα του διαμερίσματος καταρρεύσει ο παρατηρητής γίνεται «αβαρής» – η ζυγαριά δείχνει μηδέν. Μόλις συναντήσει το δάπεδο του αμέσως από κάτω διαμερίσματος, η βαρύτητα θα επανεμφανιστεί. Εν τω μεταξύ όμως θα είναι ένας αδρανειακός παρατηρητής.

Από την απλή παρατήρηση ότι ένα άτομο που πέφτει ελεύθερα δεν αισθάνεται το βαρυτικό πεδίο προέκυψε το μεγαλύτερο άλμα στην σκέψη του Αϊνστάιν, την συνειδητοποίηση ότι η βαρύτητα μπορεί να είναι ισοδύναμη με την επιτάχυνση. Ότι η βαρύτητα επηρεάζει όλα τα σώματα με τον ίδιο τρόπο επειδή είναι μια ιδιότητα του χωροχρόνου (η καμπυλότητά του) και όχι μια δύναμη που διαδίδεται μέσω του χωροχρόνου (όπως ηλεκτρομαγνητικές ή πυρηνικές δυνάμεις). Όταν εκφράστηκε με τρόπο που είναι ξεκάθαρα ανεξάρτητος από την επιλογή των συντεταγμένων, αυτή η ιδέα εξελίχθηκε στην Γενική Θεωρία της Σχετικότητας.

Η συνάρτηση του Lev Landau

 Υπάρχουν κάποιες χαρακτηριστικές μαθηματικές συναρτήσεις που φέρουν το όνομα των φυσικών που τις ανακάλυψαν. Όπως η κλιμακωτή συνάρτηση του Heaviside που εισήχθη από τον Oliver Heaviside για να υπολογίσει το ηλεκτρικό ρεύμα όταν κλείνει ένα ηλεκτρικό κύκλωμα. Άλλο πολύ γνωστό παράδειγμα είναι η συνάρτηση Dirac (γνωστή και ως συνάρτηση δέλτα) που εισήχθη από τον Paul Dirac, έναν από τους μεγαλύτερους θεωρητικούς φυσικούς του 20ου αιώνα.
Μια λιγότερο γνωστή συνάρτηση είναι η συνάρτηση που φέρει το όνομα ενός επίσης μεγάλου φυσικού του περασμένου αιώνα, του Lev Landau.

To 1944 o Landau δημοσίευσε ένα άρθρο [On the energy loss of fast particles by ionization] σχετικά με την κατανομή της απώλειας ενέργειας φορτισμένων σωματιδίων που διασχίζουν ένα κομμάτι ύλης. Το άρθρο αυτό αποτέλεσε σημείο αναφοράς για την φυσική της αλληλεπίδρασης φορτισμένων σωματιδίων με τα ύλη, διότι ακολουθούσε τα δύο κριτήρια που χαρακτηρίζουν μια εξαιρετική θεωρητική εργασία:
• «Ο φυσικός νόμος πρέπει να έχει μαθηματική ομορφιά» (P.A.M. Dirac)
• «Όλα πρέπει να είναι όσο το δυνατόν πιο απλά, αλλά όχι απλούστατα» (Α. Αϊνστάιν).

H συνάρτηση κατανομής του Landau αναπαράγεται από το πρόγραμμα Mathematica με την εντολή LandauDistribution[μ,σ], όπου μ η παράμετρος θέσης και σ η παράμετρος κλίμακας

  Ο Landau θεώρησε σωματίδια με ταχύτητες πολύ κοντά στην ταχύτητα του φωτός (π.χ. ηλεκτρόνια) που χάνουν ενέργεια εξαιτίας του ιονισμού του μέσου που διασχίζουν. Αυτή η διαδικασία που χαρακτηρίζεται από ένα μικρό μέγεθος της απώλειας ενέργειας ανά μεμονωμένη δράση σκέδασης των ταχέων ηλεκτρονίων από τα ηλεκτρόνια της ύλης.
Υπέθεσε (για λόγους απλότητας!) ότι οι απώλειες είναι ανεξάρτητες από την ενέργεια των σωματιδίων που διασχίζουν την ύλη. Αυτή η κρίσιμη υπόθεση έδωσε ένα λαμπρό αποτέλεσμα: την συνάρτηση της κατανομής Landau, η οποία χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα στο πεδίο της αλληλεπίδρασης των ταχέων σωματιδίων με την ύλη και όχι μόνο.

Σύγκριση της γκαουσιανής κατανομής με την κατανομή Landau. To μέγιστο της συνάρτησης Landau βρίσκεται σε μικρότερη ενέργεια και παρουσιάζει μια μεγάλη ουρά προς τις υψηλότερες ενέργειες.

  Σε μια πρόσφατη δημοσίευση των Bulyak και Shul’ga παρουσιάζεται η ιστορία και η ουσία της συνάρτησης κατανομής Landau, δίνοντας έμφαση στις βασικές παραδοχές και απλοποιήσεις που επέτρεψαν την κατασκευή της. Το άρθρο ολοκληρώνεται με τις επεκτάσεις της συνάρτησης Landau.
Μπορείτε να διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες ΕΔΩ: Landau distribution of ionization losses: history, importance, extensions 

 16/9/2022

Οι άλγεβρες Lie στην Φυσική των σωματιδίων

 

Στην κλασική μηχανική του Hamilton η κατάσταση ενός δυναμικού συστήματος περιγράφεται από τις n γενικευμένες συντεταγμένες θέσης $q_{1}, q_{2}, \cdots q_{n}$ και τις n γενικευμένες ορμές $ p_{1}, p_{2}, \cdots p_{n}$. Oι συνολικά N=2n μεταβλητές ονομάζονται κανονικές μεταβλητές του συστήματος. Τα φυσικά μεγέθη όπως η ενέργεια και ορμή είναι συναρτήσεις των κανονικών μεταβλητών $ F=F(q,p)$. Aυτές οι συναρτήσεις οι οποίες ονομάζονται παρατηρήσιμα μεγέθη, αποτελούν μια άλγεβρα Lie απείρων διαστάσεων ως προς την αγκύλη Poisson: $ \{ F,G \} = \displaystyle \sum_{i=1} ^{N} \left(\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}}\right)$
H χρονική εξέλιξη οποιασδήποτε συνάρτησης $f$ (ή παρατηρήσιμου μεγέθους) καθορίζεται από την χαμιλτονιανή συνάρτηση $H$ (που γεννάει τη δράση των χρονικών μετατοπίσεων και σχετίζεται με την συνολική ενέργεια του συστήματος) σύμφωνα με την σχέση: $\dfrac{df}{dt}=\dot{f}=\{f,H \} $
Έτσι, η δυναμική του συστήματος προκύπτει από τις εξισώσεις κίνησης: $ \dot{q_{i}}= \{ q_{i} ,H \}$ και $latex \dot{p_{i}}=\{p_{i} ,H\}$, που είναι ισοδύναμες με τις γνωστές εξισώσεις $ \dot{q_{i}}=\dfrac{\partial H}{\partial p_{i}}$ και $ \dot{p_{i}}=-\dfrac{\partial H}{\partial q_{i}}$.
Όταν μια συνάρτηση $ f$ ικανοποιεί την σχέση $\{f,H \} =0$, τότε δεν μεταβάλλεται με τον χρόνο και έτσι προκύπτει μια συμμετρία του συστήματος (ή μια αρχή διατήρησης). Κι αν φτάσει κανείς σε ένα τέτοιο σημείο κατανόησης, τότε από κει και πέρα η κβάντωση ενός κλασικού συστήματος φαίνεται ως κάτι μαθηματικά προφανές, αν μεταβεί από την παραπάνω άλγεβρα Lie σε μια μοναδιαία αναπαράσταση της άλγεβρας Lie, για να καταλήξει αργότερα στο μεδούλι της θεωρητικής φυσικής των στοιχειωδών σωματιδίων.

Το ρόλο των ομάδων και αλγεβρών Lie στην φυσική εξετάζει το βιβλίο με τίτλο 'Lie Algebras In Particle Physics' που έγραψε ο γνωστός θεωρητικός φυσικός Howard Georgi και κυκλοφόρησε για πρώτη φορά το 1999. Το 2021 κυκλοφόρησε σε μορφή eBook. Το ωραίο είναι ότι μπορεί κανείς να το κατεβάσει δωρεάν σε μορφή pdf π.χ. από ΕΔΩ ή (επίσης δωρεάν) σε έκδοση Kindle από την Amazon.

Σύμφωνα με τον Georgi: Τα μαθηματικά των αλγεβρών Lie είναι ένα κόσμημα - ένας κρυστάλλινος θησαυρός παντοτινής αξίας. Η φυσική στην οποία εφαρμόζονται, δεν εμπεριέχει τόση αγνή και αιώνια ομορφιά. Στη φυσική, σε αντίθεση με τα μαθηματικά, ωθούμαστε συνεχώς προς αντίθετες κατευθύνσεις. Στον έναν πόλο, υπάρχει η ενοποίηση, η απλότητα και η κομψότητα - το πλατωνικό ιδεώδες της φύσης που δημιουργείται από (αλλά και δημιουργεί) τα μαθηματικά. Από την άλλη, υπάρχει το θαυμαστό χάος του πραγματικού κόσμου - ακατάστατο, τυχαίο και συνεχώς εξελισσόμενο με την πειραματική μας ικανότητα να διερευνούμε τον πλούτο του. Η καλή φυσική πρέπει να αγκαλιάζει αυτούς τους αντίποδες. Κι αυτό είναι που την κάνει τόσο διασκεδαστική!

19/08/2022

Μια κλασική προσέγγιση της εξίσωσης διαστολής του σύμπαντος

 Ταχύτητα διαφυγής και διαστολή του σύμπαντος

Ένα κλασικό πρόβλημα απλής φυσικής είναι ο προσδιορισμός της ταχύτητας διαφυγής υδ ενός σώματος που εκτοξεύεται από την επιφάνεια ενός σφαιρικού και ομογενούς πλανήτη (χωρίς ατμόσφαιρα). Και όταν λέμε ταχύτητα διαφυγής εννοούμε την αρχική ταχύτητα που πρέπει να δοθεί σε ένα σώμα που βρίσκεται στην επιφάνεια του πλανήτη, έτσι ώστε να φτάσει σε άπειρη απόσταση με ταχύτητα ίση με το μηδέν (ακριβώς!). Δηλαδή να διαφύγει οριακά από το πεδίο βαρύτητας του πλανήτη.

Η εκδίκηση (της αρχής αβεβαιότητας) του Χάιζενμπεργκ

 Την άνοιξη του 1923, ο Βέρνερ Χάιζενμπεργκ επέστρεφε στο Μόναχο από το Γκέτιγκεν προκειμένου να ολοκληρώσει τη διδακτορική του διατριβή: είχε ακολουθήσει ένα ερευνητικό πρόγραμμα στη μαθηματική ρευστοδυναμική (ο τίτλος της διατριβής του είναι "Περί ευστάθειας και τύρβης υγρών ρευμάτων - διαβάστε σχετικά: 'Η διδακτορική διατριβή του Χάιζενμπεργκ'), που δεν είχε σχέση με την κβαντική θεωρία, όμως αποτελούσε αξιόλογο θέμα.

Όταν η συνισταμένη δύναμη είναι ανάλογη με την απομάκρυνση στον κύβο

 Τι συμβαίνει όταν η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα δεν είναι απλά ανάλογη με την απομάκρυνση, όπως στην απλή αρμονική ταλάντωση, αλλά ανάλογη με την απομάκρυνση υψωμένη στην τρίτη δύναμη; Υπάρχει κάποιο φυσικό σύστημα που να συμπεριφέρεται με τον συγκεκριμένο τρόπο; 

Με πολύ καλή προσέγγιση μπορούμε να πούμε ό,τι παρόμοια ταλαντωτική συμπεριφορά εμφανίζει το σύστημα του παρακάτω σχήματος:

Δύο όμοια ελατήρια με σταθερά ελαστικότητας $ k$ και φυσικό μήκος $ \ell_{0}$ έχουν ακλόνητο το ένα άκρο τους, ενώ στο άλλο άκρο τους είναι δεμένη μια μάζα $ m$. Αρχικά, όταν οι άξονες των δυο ελατηρίων βρίσκονται στην ίδια ευθεία χχ', τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος και η μάζα ισορροπεί. Το όλο σύστημα βρίσκετια σε οριζόντιο επίπεδο και δεν υπάρχουν τριβές. 

Το βαρυτικό ανάλογο του ατόμου του υδρογόνου

 H "Εισαγωγή στην Κβαντική Μηχανική" του David J. Griffiths στην σελίδα 144 περιέχει μια άσκηση (την 4.16), όπου εξετάζεται το σύστημα Γης-Ήλιου ως ένα βαρυτικό ανάλογο του ατόμου του υδρογόνου.

 Η δυναμική ενέργεια στο άτομο του υδρογόνου είναι $ U(r) = -ke^{2}/r $ και με δεδομένο ότι η δύναμη Coulomb μεταξύ ηλεκτρονίου-πρωτονίου παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου δύναμης, παίρνουμε την κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου: $ mv^2/r = ke^{2}/r^2 \Rightarrow K={ke^{2}/2r} $. Έτσι, η ολική ενέργεια του συστήματος είναι: $ E = K + U =-ke^{2}/2r $. 

Διακροτήματα και αρχή της αβεβαιότητας

 Από την σύνθεση δυο αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, με το ίδιο πλάτος Α, αλλά διαφορετικές συχνότητες $ f_{1}$ και $ f_{2}<f_{1}$ , προκύπτει μια ιδιόμορφη κίνηση που παρουσιάζει διακροτήματα:

Παρατηρούμε ότι το πλάτος της σύνθετης κίνησης μεταβάλλεται με αργό ρυθμό. Ο χρόνος ανάμεσα σε δυο διαδοχικούς μηδενισμούς (ή δυο διαδοχικές μεγιστοποιήσεις) του πλάτους ονομάζεται περίοδος του διακροτήματος.

Μια επιβεβαίωση (της αρχής) της αβεβαιότητας

 

Η πρώτη εξίσωση εκφράζει την αρχή της αβεβαιότητας ορμής-θέσης και η δεύτερη την αρχή της αβεβαιότητας ενέργειας-χρόνου

Η αρχή της αβεβαιότητας (ή αρχή της απροσδιοριστίας), διατυπώθηκε για πρώτη φορά το 1927 από τον Γερμανό φυσικό Werner Heisenberg. Σύμφωνα με την πρώτη (και πιο γνωστή) διατύπωσή της, όσο ακριβέστερα μετράται η θέση ενός σωματιδίου, τόσο μεγαλύτερη θα είναι η άγνοιά μας για την ορμή του και αντιστρόφως. Μαθηματικά η αρχή της αβεβαιότητας ορμής-θέσης εκφράζεται από την σχέση: $ \Delta p \cdot \Delta x \geq \hbar/2 $, όπου $ \Delta p$ η αβεβαιότητα στην ορμή, $ \Delta x$ η αβεβαιότητα στην θέση και $ \hbar=h/2 \pi$ ($ h$ η σταθερά του Planck). Συνήθως κάνουμε πολύ καλές προσεγγιστικές εκτιμήσεις χρησιμοποιώντας τις συναφείς εξισώσεις $ \Delta p \cdot \Delta x \sim \hbar $ ή $ \Delta p \cdot \Delta x \sim h$.

Γιατί η κινητική ενέργεια είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας;

 Γιατί η κινητική ενέργεια ενός σώματος δεν αυξάνεται γραμμικά συναρτήσει του μέτρου της ταχύτητας; Γιατί χρειάζεται περισσότερη ενέργεια για να αυξήσουμε την ταχύτητα ενός σώματος από 1m/s σε 2m/s, απ' ότι για να την αυξήσουμε από  0m/s σε 1m/s; Θα μπορούσε κανείς να απαντήσει πολύ εύκολα στο ερώτημα χρησιμοποιώντας διαστατική ανάλυση, να γράψει δηλαδή, $ K= m^{x} v^{y} \Rightarrow N \cdot m= kg^{x} m^{y} s^{-y}$ ή $ kg \cdot m^{2} \cdot s^{-2}=kg^{x} m^{y} s^{-y} $, απ' όπου προκύπτει εύκολα ότι $ x=1$ και $y=2$. Όμως η διαστατική ανάλυση προϋποθέτει τον ορισμό του Joule διαμέσου του έργου ή άλλου είδους ενέργειας. Κάτι που θέλουμε να αποφύγουμε. Μπορούμε να αποδείξουμε πιο θεμελιακά και χωρίς δεκανίκια τον τύπο της κινητικής ενέργειας $ K=\frac{1}{2}m\,v^{2}$ χωρίς να αναφερθούμε στο έργο δύναμης; Aς κάνουμε μια προσπάθεια.

Η αδιαβατική μεταβολή ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή

Θεωρούμε έναν απλό αρμονικό ταλαντωτή για τον οποίο: $ \Sigma F=ma=-Dx$ ή $ \frac{d^{2}x((t)}{dt^{2}}+\omega^{2}x(t)=0$, όπου $ \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}$, η κυκλική ιδιοσυχνότητά του. Το ερώτημα που τίθεται είναι το εξής: Τι συμβαίνει όταν με τον κατάλληλο τρόπο μεταβάλλουμε αργά τη κυκλική συχνότητα του ταλαντωτή;

Για να πάρουμε μια άμεση απάντηση πρέπει να λύσουμε την εξίσωση: $ x''(t) +\omega^{2}(t) x(t)=0$, η οποία συνήθως είναι αρκετά δύσκολη. Καταφεύγοντας στη ... βιβλιογραφία θα διαπιστώσουμε ότι σε τέτοιου είδους κινήσεις υπάρχουν κάποιες διατηρήσιμες ποσότητες. Αποδεικνύεται ότι καθώς μεταβάλλεται το πλάτος και η ενέργεια του ταλαντωτή, ο λόγος της ενέργειας ως προς την συχνότητά του παραμένει σταθερός. Δηλαδή, $ I=\frac{E(t)}{\omega(t)}=\sigma \tau a \theta$. Το μέγεθος αυτό είναι γνωστό ως αδιαβατικό αναλλοίωτο, εξού και ο τίτλος της ανάρτησης. Πώς λοιπόν αποδεικνύεται ότι το μέγεθος $ I$ παραμένει σταθερό όταν μεταβάλλεται η συχνότητα του ταλαντωτή;

Ενέργεια φωτονίου, απλό εκκρεμές και αδιαβατικά αναλλοίωτα

1. Η ενέργεια του φωτονίου

Η σταθερά του Πλανκ h, είναι μια θεμελιώδης σταθερά και παίζει κεντρικό ρόλο στη θεωρία της κβαντικής φυσικής. Χρησιμοποιείται για να περιγράψει το μέγεθος των κβάντων. Πήρε την ονομασία της από τον Μαξ Πλανκ, δεδομένου ότι εμφανίστηκε για πρώτη φορά στην ερμηνεία της ακτινοβολίας του μέλανος σώματος από τον Πλανκ το 1900. Η τιμή της σταθεράς είναι: h=4,14×10−15 eV∙s = 0,00000000000000414 electronvolt∙second και οι μονάδες της εκφράζουν το μέγεθος της στροφορμής. Στο διεθνές σύστημα μονάδων η τιμή της είναι: h=6,62607015·10-34 kg2·m/s.