Μια κλασική προσέγγιση της εξίσωσης διαστολής του σύμπαντος

 Ταχύτητα διαφυγής και διαστολή του σύμπαντος

Ένα κλασικό πρόβλημα απλής φυσικής είναι ο προσδιορισμός της ταχύτητας διαφυγής υδ ενός σώματος που εκτοξεύεται από την επιφάνεια ενός σφαιρικού και ομογενούς πλανήτη (χωρίς ατμόσφαιρα). Και όταν λέμε ταχύτητα διαφυγής εννοούμε την αρχική ταχύτητα που πρέπει να δοθεί σε ένα σώμα που βρίσκεται στην επιφάνεια του πλανήτη, έτσι ώστε να φτάσει σε άπειρη απόσταση με ταχύτητα ίση με το μηδέν (ακριβώς!). Δηλαδή να διαφύγει οριακά από το πεδίο βαρύτητας του πλανήτη.

Η εκδίκηση (της αρχής αβεβαιότητας) του Χάιζενμπεργκ

 Την άνοιξη του 1923, ο Βέρνερ Χάιζενμπεργκ επέστρεφε στο Μόναχο από το Γκέτιγκεν προκειμένου να ολοκληρώσει τη διδακτορική του διατριβή: είχε ακολουθήσει ένα ερευνητικό πρόγραμμα στη μαθηματική ρευστοδυναμική (ο τίτλος της διατριβής του είναι "Περί ευστάθειας και τύρβης υγρών ρευμάτων - διαβάστε σχετικά: 'Η διδακτορική διατριβή του Χάιζενμπεργκ'), που δεν είχε σχέση με την κβαντική θεωρία, όμως αποτελούσε αξιόλογο θέμα.

Όταν η συνισταμένη δύναμη είναι ανάλογη με την απομάκρυνση στον κύβο

 Τι συμβαίνει όταν η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα δεν είναι απλά ανάλογη με την απομάκρυνση, όπως στην απλή αρμονική ταλάντωση, αλλά ανάλογη με την απομάκρυνση υψωμένη στην τρίτη δύναμη; Υπάρχει κάποιο φυσικό σύστημα που να συμπεριφέρεται με τον συγκεκριμένο τρόπο; 

Με πολύ καλή προσέγγιση μπορούμε να πούμε ό,τι παρόμοια ταλαντωτική συμπεριφορά εμφανίζει το σύστημα του παρακάτω σχήματος:

Δύο όμοια ελατήρια με σταθερά ελαστικότητας $ k$ και φυσικό μήκος $ \ell_{0}$ έχουν ακλόνητο το ένα άκρο τους, ενώ στο άλλο άκρο τους είναι δεμένη μια μάζα $ m$. Αρχικά, όταν οι άξονες των δυο ελατηρίων βρίσκονται στην ίδια ευθεία χχ', τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος και η μάζα ισορροπεί. Το όλο σύστημα βρίσκετια σε οριζόντιο επίπεδο και δεν υπάρχουν τριβές. 

Το βαρυτικό ανάλογο του ατόμου του υδρογόνου

 H "Εισαγωγή στην Κβαντική Μηχανική" του David J. Griffiths στην σελίδα 144 περιέχει μια άσκηση (την 4.16), όπου εξετάζεται το σύστημα Γης-Ήλιου ως ένα βαρυτικό ανάλογο του ατόμου του υδρογόνου.

 Η δυναμική ενέργεια στο άτομο του υδρογόνου είναι $ U(r) = -ke^{2}/r $ και με δεδομένο ότι η δύναμη Coulomb μεταξύ ηλεκτρονίου-πρωτονίου παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου δύναμης, παίρνουμε την κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου: $ mv^2/r = ke^{2}/r^2 \Rightarrow K={ke^{2}/2r} $. Έτσι, η ολική ενέργεια του συστήματος είναι: $ E = K + U =-ke^{2}/2r $.