Η πρώτη πειραματική απόδειξη της θεωρίας της σχετικότητας

O Fizeau το 1851 με μια πολύ έξυπνη διάταξη κατάφερε να μετρήσει την σχετική ταχύτητα του φωτός που διαδίδεται μέσα σε κινούμενο νερό. Εκ των υστέρων αποδεικνύεται πως το πείραμα μπορεί να ιδωθεί ως η πρώτη πειραματική επιβεβαίωση της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας του Einstein.

Η διάταξη του πειράματος Fizeau (1951). Διαβάστε τις λεπτομέρειες του πειράματος ΕΔΩ: wikipedia.org

Ας συμβολίσουμε την ταχύτητα του φωτός με $ c $. Aν $ n $ είναι ο συντελεστής διάθλασης του νερού, τότε η ταχύτητα διάδοσης του φωτός μέσα στο νερό είναι $ c/n $.

Δημόκριτος και Οργανική Χημεία

Ο Δημόκριτος παρότι στην πραγματικότητα ήταν σύγχρονος του Σωκράτη, θεωρείται «προσωκρατικός» φιλόσοφος. Σχεδόν κανένα από τα γραπτά του Δημόκριτου δεν έχει διασωθεί. Ότι γνωρίζουμε γι αυτόν προέρχεται από άλλους φιλοσόφους, όπως τον Αριστοτέλη, που τον αναφέρουν για να τον επικρίνουν. Tα χωρία του Δημόκριτου που έχουν διασωθεί – στα οποία εικάζεται μεταξύ άλλων, ότι όλα τα φυσικά φαινόμενα προκύπτουν από πολύπλοκες αλληλεπιδράσεις μεταξύ λίγων ειδών μικροσκοπικών «ατόμων», τα οποία στριφογυρίζουν μέσα στον κενό χώρο – βρίσκονται πλησιέστερα προς μια σύγχρονη επιστημονική κοσμοθεώρηση από οτιδήποτε άλλο διατυπώθηκε στην αρχαιότητα.

Μία από τις εντυπωσιακότερες προτάσεις του αρχαίου Έλληνα φιλοσόφου που έχουν διασωθεί είναι η εξής: «Φαινομενικά υπάρχει το γλυκό, φαινομενικά υπάρχει το πικρό, φαινομενικά υπάρχει το χρώμα. Στην πραγματικότητα υπάρχουν μόνον τα άτομα και το κενό»
Προκαλεί τεράστιο θαυμασμό το γεγονός ότι σε μία και μόνο πρόταση, διατυπώνεται με την μεγαλύτερη ακρίβεια και τον απλούστερο δυνατό τρόπο, η ατομική θεωρία που θα αναπτυσσόταν 2000 χρόνια μετά!

Οι τρεις νόμοι του Νεύτωνα στην ψυχαναλυτική θεωρία του Φρόυντ

Η πρώτη προσπάθεια για την διατύπωση μιας «ψυχαναλυτικής θεωρίας με φυσικούς όρους» από τον Φρόυντ ακολουθεί τις αρχές και τους νόμους του Νεύτωνα που περιγράφονται στο μνημειώδες βιβλίο του «Μαθηματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας»

Το 1877, όταν ο Σίγκμουντ Φρόυντ ήταν τριτοετής φοιτητής ιατρικής στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης, ξεκίνησε την συνεργασία του με τον φυσιολόγο Ερνστ φον Μπρύκε (Ernst von Brücke). Ο Μπρύκε ήταν ένας από τους βασικότερους εκπροσώπους της φυσιολογίας του Χέρμαν φον Χέλμχολτς (Hermann von Helmholtz), η οποία προσπαθούσε να εξηγήσει όλα τα φαινόμενα στη βάση φυσικοχημικών διεργασιών, σε αντίθεση με την τότε δημοφιλή φιλοσοφική θεωρία της φυσιολογίας, τον βιταλισμό. Οι οπαδοί του βιταλισμού υποστήριζαν ότι τα έμβια όντα διαφέρουν από τα άψυχα αντικείμενα επειδή περιέχουν μια «ζωτική σπίθα», την οποία ορισμένοι πίστευαν ότι ήταν η ψυχή. Η σχολή του Χέλμχολτζ αμφισβήτησε αυτή τη θεωρία, δηλώνοντας ότι μόνο οι κοινές φυσικοχημικές λειτουργίες εμπλέκονται στη ζωή ενός οργανισμού.

Ο Φρόυντ θαύμαζε το έργο του Helmholtz αν και δεν είχε την ευκαιρία να τον συναντήσει προσωπικά. Ο Helmholtz, εξέφραζε την τέλεια ενσάρκωση της φιγούρας του «γιατρού-φυσικού» που κυριαρχούσε στη γερμανική πανεπιστημιακή σκηνή, σε μια εποχή που γερμανική επιστημονική έρευνα άρχισε να γίνεται το πρότυπο και το κέντρο της ευρωπαϊκής επιστήμης. Ο Φρόυντ θεωρούσε τον εαυτό του συνεχιστή μιάς φυσιολογίας-ανατομίας ριζικά υποταγμένης στη φυσική, την επιστήμη με την οποία περιγράφονται όλα τα τα φυσικά φαινόμενα, συμπεριλαμβανομένων και εκείνων που σχετίζονται με τους ζωντανούς οργανισμούς. Όλα τα φυσικά φαινόμενα θα έπρεπε να περιγραφούν με την κίνηση των υλικών σωματιδίων και των αλληλεπιδράσεών τους. Η φυσικο-χημική λειτουργία του ζωντανού οργανισμού υπόκειται στους ίδιους νόμους με την άψυχη ύλη και πρέπει να μελετάται με τους ίδιους όρους.

Η κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου μπορεί να παίξει τον ρόλο του αιθέρα;

 

Για πολλά χρόνια μετά τη μεγάλη έκρηξη οι θερμοκρασίες ήταν τόσο μεγάλες ώστε τα άτομα που σχηματίζονταν διαλύονταν αμέσως επειδή συγκρούονταν με μεγάλη ενέργεια με άλλα υποατομικά σωματίδια.

Συνεπώς τα ηλεκτρόνια ήταν ελεύθερα και μπορούσαν να σκεδάσουν το φως.
Έτσι, το σύμπαν ήταν αδιαφανές. Οι δέσμες φωτός σ’ αυτό το υπέρθερμο σύμπαν διένυαν ελάχιστη απόσταση και στη συνέχεια απορροφούνταν. Μετά όμως από 400.000 περίπου χρόνια η θερμοκρασία έπεσε στους 3000 βαθμούς.

Έτσι, δημιουργήθηκαν σταθερά άτομα και οι φωτεινές δέσμες μπορούσαν να διανύουν τεράστιες αποστάσεις χωρίς να απορροφώνται. Για πρώτη φορά το κενό διάστημα έγινε διαφανές. Η ακτινοβολία που δεν αλληλεπιδρούσε πια με την ύλη κυκλοφορεί στο σύμπαν μέχρι σήμερα σε μήκη κύματος κυρίως μικροκυμάτων, αντιστοιχεί σε θερμοκρασία περίπου 3 βαθμών, και ονομάζεται κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου.

Το υπόβαθρο μικροκυμάτων ορίζει ένα σύστημα αναφοράς ως προς το οποίο μπορούμε να μετρήσουμε την τοπική μας κίνηση που περιλαμβάνει την κίνηση της γης γύρω από τον ήλιο, του ήλιου γύρω από το κέντρο του γαλαξία μας και του γαλαξία μας σε σχέση με τους γειτονικούς γαλαξίες.

Κατά μήκος της κίνησής μας, η ακτινοβολία των φωτονίων υποβάθρου είναι λίγο μετατοπισμένη προς το ερυθρό (ανισοτροπία διπόλου υποβάθρου μικροκυμάτων).

Στο σχήμα το διπλό βέλος παριστάνει την ταχύτητα του ηλιακού μας συστήματος σε σχέση με την κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου. Από τις μετρήσεις ανισοτροπίας του δορυφόρου COBE προέκυψε η τιμή 371 χιλιόμετρα ανά δευτερόλεπτο.

Ποιος ήταν ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή

 

Ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή (Βερολίνο, 13 Σεπτεμβρίου 1873 – Μόναχο, 2 Φεβρουαρίου 1950) ήταν μαθηματικός ελληνικής καταγωγής, υπήκοος Οθωμανικής Αυτοκρατορίας, που διακρίθηκε σε παγκόσμιο επίπεδο. Ο Καραθεοδωρή ήταν γνωστός εκτός Ελλάδας ως Konstantin Carathéodory και συχνά αναφέρεται (λανθασμένα) ως Καραθεοδωρής. Το επιστημονικό έργο του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή επεκτείνεται σε πολλούς τομείς των Μαθηματικών, της Φυσικής και της Αρχαιολογίας. Είχε σημαντικότατη συνεισφορά ιδιαίτερα στους τομείς της πραγματικής ανάλυσης, συναρτησιακής ανάλυσης και θεωρίας μέτρου και ολοκλήρωσης. Τα περισσότερα έργα του τα έγραψε στα γερμανικά.

Υπολογισμός ολοκληρωμάτων «με τον τρόπο του Feynman»

  

"(...) Είχα μάθει να υπολογίζω ολοκληρώματα με διάφορες μεθόδους από ένα βιβλίο το οποίο μου είχε δώσει κάποιος καθηγητής φυσικής στο λύκειο, ο κύριος Bader. Θυμάμαι ότι εκείνη τη φορά μου ζήτησε να παραμείνω στην τάξη μετά το μάθημα: "Feynamn, μιλάς πολύ και κάνεις φασαρία. Ξέρω γιατί. Πλήττεις! Γι' αυτό θα σου δώσω ένα βιβλίο. Θα κάθεσαι εκεί πίσω στη γωνία και θα το μελετάς. Μόνο όταν θα έχεις μάθει όλα όσα λέει θα ξαναμιλήσεις".
Έτσι, σε κάθε μάθημα φυσικής δεν έδινα σημασία στο νόμο του Pascal ή σε οτιδήποτε άλλο έλεγαν, αλλά καθόμουν και διάβαζα τον απειροστικό λογισμό του Woods⁽¹⁾. O καθηγητής μου ήξερε ότι ήδη είχα διαβάσει τον Απειροστικό λογισμό για τον πρακτικό άνθρωπο, και έτσι μου έδωσε το κολεγιακού επιπέδου βιβλίο. Περιείχε τις σειρές Fourier, τις συναρτήσεις Bessel, ορίζουσες, ελλειπτικές συναρτήσεις - όλα εκείνα τα πράγματα που αγνοούσα.

Η Μεγάλη Έκρηξη και ο χρόνος ζωής του νετρονίου

  

Τα ελεύθερα νετρόνια είναι ασταθή σωματίδια. Παρακολουθώντας έναν αριθμό ελεύθερων νετρονίων, θα δούμε τα μισά από αυτά να διασπώνται μέσα σε 10 λεπτά περίπου, σε πρωτόνια, ηλεκτρόνια και αντι-νετρίνα: $ n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu} $.

Ο πειραματικός προσδιορισμός του χρόνου ζωής του νετρονίου δεν είναι εύκολη υπόθεση και συνήθως περιέχει σημαντικά σφάλματα.

Υπάρχουν δύο βασικές πειραματικές προσεγγίσεις για τη μέτρηση χρόνου ζωής των νετρονίων: η "μέθοδος της φιάλης" και η «μέθοδος δέσμης».

Στην «μέθοδο της φιάλης», νετρόνια με ενέργειες της τάξης των νανο-ηλεκτρονιοβόλτ, περιορίζονται σε μια παγίδα ή φιάλη που σχηματίζεται από συνδυασμούς μαγνητικών πεδίων, βαρύτητας και τοιχωμάτων.
Ο χρόνος ζωής των νετρονίων τ_n προκύπτει μετρώντας τον αριθμό των σωματιδίων που επιβιώνουν στην παγίδα μετά από συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Συνδυάζοντας τα 5 τελευταία πειράματα αυτού του είδους προκύπτει ότι ο χρόνος ζωής των νετρονίων είναι τ_n = (879.6 ± 0.8) s.

Με την «μέθοδο της δέσμης» ανιχνευτές καταμετρούν τον ρυθμό διάσπασης των νετρονίων σε καθορισμένο όγκο μιας δέσμης νετρονίων. Συνδυάζοντας τις δυο τελευταίες μετρήσεις αυτού του είδους προκύπτει ότι τ_n = (888.0 ± 2.1) s.

Οι μετρήσεις αυτές διαφέρουν αρκετά, κατά 8,5 s, δηλαδή κατά περίπου ~ 3,7 τυπικές αποκλίσεις.

Τι σχέση μπορεί να έχει ο χρόνος ζωής των νετρονίων με την Μεγάλη Έκρηξη;

Το ‘Καθιερωμένο Πρότυπο’ του Εμπεδοκλή

 Το Καθιερωμένο Πρότυπο (Standard Model) των Στοιχειωδών Σωματιδίων είναι η φυσική θεωρία που περιγράφει τα ελάχιστα δομικά συστατικά της ύλης και τον τρόπο με τον οποίο αλληλεπιδρούν μεταξύ τους διαμέσου των θεμελιωδών δυνάμεων της φύσης (ισχυρές, ασθενείς και ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις). Απεικονίζεται συνοπτικά με έναν πίνακα, παρόμοιο με τον περιοδικό πίνακα των στοιχείων, μόνο που τώρα στην θέση των στοιχείων του Μεντελέγιεφ, παίρνουν τα στοιχειώδη σωματίδια. Ο πίνακας περιλαμβάνει τρεις οικογένειες στοιχειωδών σωματιδίων ύλης (φερμιόνια) και τα σωματίδια που είναι οι φορείς των δυνάμεων (μποζόνια). Αν εξαιρέσει κανείς τις μάζες, οι τρεις οικογένειες (γενιές) των σωματιδίων της ύλης δεν διαφέρουν καθόλου μεταξύ τους.

Το Καθιερωμένο Πρότυπο διατυπώθηκε πριν από αρκετές δεκαετίες, επεκτάθηκε και τροποποιήθηκε πολλές φορές στο πέρασμα του χρόνου και τα πειράματα έχουν ενισχύσει την εμπιστοσύνη των φυσικών σ’ αυτό. Όμως είναι ελλιπές. Για παράδειγμα, δεν μπορεί να προβλέψει τις μάζες συγκεκριμένων σωματιδίων, θεωρεί ότι τα νετρίνα δεν έχουν μάζα και αδυνατεί να εξηγήσει τι είναι η σκοτεινή ενέργεια και η σκοτεινή ύλη, περίπου το 95% του περιεχομένου του σύμπαντος. 

Στα θεμέλια των βιοϊατρικών επιστημών βρίσκεται η Φυσική

 

Η αόρατη επίδραση της Φυσικής στις βιοϊατρικές επιστήμες

Όταν ένας μαθητής σκοπεύει να σπουδάσει επιστήμες ιατρικής και υγείας, υποθέτει ότι πρέπει να διαπρέψει στη βιολογία ή τη χημεία. Έτσι, εστιάζει το ενδιαφέρον του κυρίως σ’ αυτά τα δύο μαθήματα. Όμως, οι περισσότεροι ξεχνούν ή αγνοούν την τεράστια σημασία των εννοιών της Φυσικής στον βιοϊατρικό τομέα.

Πίσω από τις ιατρικές ορολογίες της ανατομίας, της φυσιολογίας ή της μοριακής βιολογίας απλώνονται οι σκιές ορολογιών όπως η ιατρική απεικόνιση, η εμβιομηχανική, η ακτινοβολία, ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός, που σχετίζονται με τις αναπόσπαστες έννοιες της Φυσικής. Αυτά αναφέρονται συχνά ως ιατρική Φυσική.

Η ιατρική Φυσική εφαρμόζει τις αρχές της Φυσικής στην ιατρική. Είναι απαραίτητη σε όλες σχεδόν τις ιατρικές τεχνολογίες διάγνωσης και θεραπείας που χρησιμοποιούνται σήμερα. Από τις ακτινογραφίες έως τις τομογραφίες μαγνητικού συντονισμού (MRI), την ακτινοθεραπεία έως τη χειρουργική επέμβαση λέιζερ, τις ιατρικές συσκευές και τα εμφυτεύματα έως την αποκατάσταση, η Φυσική διαδραματίζει πολύ κρίσιμο ρόλο στην εξέλιξη του τομέα της ιατρικής.

Πειραματικές μέθοδοι που προσεγγίζουν χρονικές κλίμακες αττοδευτερολέπτου

Iστορικό υπόβαθρο
Με το βραβείο Νόμπελ Φυσικής 2023 τιμήθηκε η έρευνα για την μελέτη της κίνησης ηλεκτρονίων σε άτομα, μόρια και στην συμπυκνωμένη φάση της ύλης διαμέσου της φασματοσκοπίας αττοδευτερολέπτου (attosecond).

Το Νόμπελ Φυσικής 2023 απονεμήθηκε στους: στους Pierre Agostini (The Ohio State University, Columbus, HΠΑ), Ferenc Krausz (Max Planck Institute of Quantum Optics, Garching and Ludwig-Maximilians-Universität München, Γερμανία) και Anne L’Huillier (Lund University, Σουηδία…) «για την ανάπτυξη πειραματικών μεθόδων που παράγουν παλμούς φωτός διάρκειας attosecond για την μελέτη της δυναμικής των ηλεκτρονίων στην ύλη». Υπενθυμίζεται ότι 1 attosecond=1×10⁻¹⁸ sec =0,000000000000000001 sec.

Όταν ο Werner Heisenberg διατύπωσε τη νέα κβαντική μηχανική το 1925, το κύριο επιχείρημά του ήταν ότι η παλιά κβαντομηχανική ανάγκασε τους φυσικούς να χρησιμοποιήσουν ποσότητες που «αξιωματικά» ήταν μη παρατηρήσιμες, όπως η θέση και η περίοδος περιφοράς του ηλεκτρονίου στο άτομο του υδρογόνου.

Ο Heisenberg υποστήριξε ότι μια νέα θεωρία πρέπει να βασίζεται σε παρατηρήσιμα φυσικά μεγέθη (observables), όπως οι συχνότητες των κβαντικών αλμάτων.
Η ενορατική εργασία του Heisenberg του 1925 να είναι μια από τις πιο σημαντικές στη φυσική του 20ου αιώνα. Όμως, δεν μπορούσε να προβλέψει ότι εκείνα που τότε ήταν σύμφωνα με τις «θεμελιώδεις αρχές» μη παρατηρήσιμα θα γίνονταν σήμερα προσιτά σε εργαστηριακά πειράματα. Μπορεί να μην είμαστε ακόμη σε θέση να παρατηρήσουμε, με την αυστηρή έννοια, τη θέση και την περιφορά ενός ηλεκτρονίου γύρω από έναν πυρήνα, αλλά σήμερα, μπορούμε να «δούμε»σε εργαστηριακά πειράματα την δυναμική των ηλεκτρονίων σε άτομα, μόρια και στη συμπυκνωμένη φάση της ύλης.

Πώς είναι δυνατόν αυτό; Απλά επιχειρήματα που βασίζονται σε σύγκριση της εγγενούς ατομικής μονάδας του χρόνου, περίπου 24∙10⁻¹⁸ s=24 as (attoseconds) και της χρονικής κλίμακας ενός απλού κύκλου οπτικού παλμού, περίπου 10⁻¹⁵ s ή 1 femtosecond (fs), δείχνουν ότι δεν θα ήταν ποτέ δυνατό να μελετηθεί η δυναμική του ηλεκτρονίου σε πραγματικό χρόνο. Πράγματι, για αρκετό καιρό, ο συντομότερος παλμός που παρήγαγαν τα εργαστήρια λέιζερ ήταν περίπου 6 fs. Η πειραματική ανάπτυξη σύντομων οπτικών παλμών έχει συνδεθεί στενά με τις τεχνικές εξελίξεις στην τεχνολογία λέιζερ, όπως η εγκλείδωση ρυθμών (mode locking) και οι μετρήσεις διάρκειας παλμών φωτός.

Αυτό κατέστησε δυνατή την ανίχνευση του τρόπου με τον οποίο τα άτομα κινούνται σε ένα μόριο και ειδικότερα, τη δυνατότητα μελέτης των «φευγαλέων» μεταβατικών καταστάσεων στις χημικές αντιδράσεις, μελέτες για τις οποίες ο Ahmed Zewail τιμήθηκε με το Νόμπελ Χημείας το 1999.

Η θερμοδυναμική λύση μιας κλασικής ανισότητας

 Ποιό είναι μεγαλύτερο, το e^π ή το π^e; H απάντηση μπορεί να δοθεί χρησιμοποιώντας ... τον 2ο νόμο της θερμοδυναμικής!

Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να απαντηθεί το παραπάνω ερώτημα (για παράδειγμα, δείτε: Μια οπτική αποδειξη της ανισότητας π^e < e^π ή What is greater: e^π or π^e?). Στη συνέχεια παρουσιάζεται μια εναλλακτική λύση που βασίζεται στον δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο.

Είναι γνωστό ότι όταν δύο σώματα Α και Β με διαφορετικές θερμοκρασίες έρχονται σε επαφή, η θερμική ενέργεια ρέει από το θερμότερο προς το ψυχρότερο, μέχρι να επιτευχθεί θερμική ισορροπία.
Ας υποθέσουμε ότι το σώμα Α είναι ένα ασυμπίεστο στερεό με σταθερή θερμοχωρητικότητα C, και ότι η αρχική θερμοκρασία του ισούται με τον γνωστό από την γεωμετρία αριθμό π, δηλαδή T₁=π=3,1415927...
και ότι το σώμα Β είναι μια τεράστια δεξαμενή θερμότητας σε θερμοκρασία T₂=e=2,7182818..., όπου e είναι ο αριθμός του Euler (οι δύο θερμοκρασίες μετρώνται στην απόλυτη κλίμακα θερμοκρασιών ή κλίμακα Κέλβιν). Θεωρούμε ότι τα δύο συστήματα ανταλλάσσουν μεταξύ τους μόνο θερμότητα.

Η καμπύλη του συντονισμού και ο χρόνος ζωής των σωματιδίων

 Πως η αβεβαιότητα στην ενέργεια ενός σωματιδίου προσδιορίζει με εξαιρετική ακρίβεια τον χρόνο ζωής ασταθών σωματιδίων

Υπάρχουν σωματίδια που ζουν αιώνια ή για να το πούμε διαφορετικά, ο χρόνος ζωής τους είναι μεγαλύτερος από την ηλικία του σύμπαντος, όπως για παράδειγμα τα πρωτόνια, τα ηλεκτρόνια, τα νετρίνα και τα φωτόνια. Όμως, υπάρχουν και σωματίδια τα οποία όπως και οι άνθρωποι, έχουν πεπερασμένο χρόνο ζωής. Πολλά από αυτά πεθαίνουν σχεδόν αμέσως αφού παραχθούν. Για παράδειγμα, ένα ελεύθερο νετρόνιο ζεί περίπου 15 λεπτά, ένα μιόνιο 2,2 εκατομμυριοστά του δευτερολέπτου, το διάσημο σωματίδιο Higgs ζει λιγότερο από ένα τρισεκατομμυριοστό του δισεκατομμυριοστού του δευτερολέπτου ή 1,6×10^-22 δευτερόλεπτα, ενώ τα  μποζόνια W⁺, W⁻ και Z⁰ ζουν ακόμα λιγότερο, γύρω στα 10⁻²⁵ δευτερόλεπτα.

 Ένας αναπάντεχος τρόπος για να υπολογίσουμε τον χρόνο ζωής των ασταθών σωματιδίων είναι διαμέσου της κβαντομηχανικής σχέσης: $\Delta E \cdot \Delta t \geq \dfrac{\hbar}{2}$. Η σχέση αυτή αποκαλείται συχνά "σχέση αβεβαιότητας ενέργειας-χρόνου", ένα παραπλανητικό όνομα, διότι ανακαλεί αδόκιμα την θεμελιώδη κβαντομηχανική σχέση αβεβαιότητας θέσης-ορμής $ \Delta p \cdot \Delta t \geq \dfrac{\hbar}{2}$. Όμως, η σύγκριση είναι άστοχη, εφόσον ο χρόνος δεν είναι παρατηρήσιμο μέγεθος προσαρτημένο σε ένα σωματίδιο. Το νόημα της σχέσης αυτής εξαρτάται από το είδος της μέτρησης που μας ενδιαφέρει. Μια πιο σωστή γραφή της σχέσης αυτής θα ήταν $ \Delta E \cdot T \geq \dfrac{\hbar}{2}$ , όπου το Τ συμβολίζει τον χαρακτηριστικό χρόνο μέσα στον οποίο η ενέργεια του κβαντικού συστήματος αλλάζει αξιόλογα.