Η φθίνουσα ταλάντωση είναι μια ρεαλιστικότερη περίπτωση ταλάντωσης σε σχέση με την αρμονική.
Στην αρμονική ταλάντωση η συνισταμένη δύναμη είναι της μορφής $ \Sigma F = - Dx $, όπου $D $ σταθερά, και η διαφορική εξίσωση της κίνησης, $$ m\frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}} + D x(t) = 0$$ έχει ως γενική λύση μια αρμονική συνάρτηση: $x=A \sin(\omega_{0}t+\phi) $.
Στην φθίνουσα ταλάντωση εκτός από τη δύναμη $ F = - Dx $ εμφανίζεται και η δύναμη απόσβεσης που συνήθως τη θεωρούμε ανάλογη της ταχύτητας: $ F_{b} = -b \,v \,\,(b>0) $
Μέσω της δύναμης αυτής η μηχανική ενέργεια του συστήματος που ταλαντώνεται μετατρέπεται σε θερμική. Το τελικό αποτέλεσμα είναι η ταλάντωση σε κάποια στιγμή να σταματήσει. Έτσι, αν σε σημειακή μάζα εκτός από τη δύναμη $ F = - Dx $, ασκείται και η δύναμη απόσβεσης τότε θα ισχύει: $\Sigma F = - Dx - b\,v $ ή $ m \frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}} + b\,v(t) + D x(t) = 0$ ή $$x''(t) + \frac{b}{m}\,x'(t) + \frac{D}{m} x(t) = 0 $$ Συνήθως θέτουμε $ 2\gamma = \frac{b}{m} $ και $ \omega^{2}_{0} = \frac{D}{m} $, όπου $\omega_{0}$ η ιδιοσυχνότητα του συστήματος και η διαφορική εξίσωση γράφεται:
$ x''(t) + 2 \gamma\,x'(t) + \omega^{2}_{0} \, x(t) = 0$ (1)
Ο μόνος λόγος για την αλλαγή του συμβολισμού είναι η κομψότητα της τελικής λύσης. Η εξ. (1) είναι μια ομογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. O κλασικός τρόπος επίλυσής της είναι η αναζήτηση λύσης της μορφής: $ x(t) = e^{\rho t} $
Αντικαθιστώντας την παραπάνω έκφραση στην εξ.(1) προκύπτει η χαρακτηριστική εξίσωση:
$ \rho^2 +2 \gamma \rho + \omega_{0}^2 = 0 $
Η διακρίνουσα της παραπάνω εξίσωσης είναι: $\Delta =4 \gamma^{2} - 4 \omega_{0}^2 $
Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις ανάλογα με το είδος των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης:
1. μιγαδικές ρίζες όταν $ \Delta < 0 \Rightarrow \gamma < \omega_{0} $ (Ασθενής απόσβεση)
2. μια διπλή πραγματική ρίζα όταν $ \Delta = 0 \Rightarrow \gamma = \omega_{0} $ (Κρίσιμη απόσβεση)
3. πραγματικές ρίζες όταν $ \Delta > 0 \Rightarrow \gamma > \omega_{0} $ (Ισχυρή απόσβεση)
Στην περίπτωση της ασθενούς απόσβεσης $ \gamma < \omega_{0} $ οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι μιγαδικές
$ \rho_{1,2} = -\gamma \pm i\sqrt{\omega_{0}^2 - \gamma^2} = -\gamma \pm i \, \omega $
όπου $ \omega = \sqrt{\omega_{0}^2 - \gamma^2} $
Η γενική λύση της εξ. (1) θα είναι:
$ x(t) = C_{1}e^{(-\gamma+i \omega)t} + C_{2}e^{(-\gamma - i \omega)t} $
Χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες
$ e^{\pm i \omega t}= \cos \omega t \pm i \sin \omega t $
θα έχουμε
$ x(t) = e^{-\gamma t} \left[ (C_{1} + C_{2}) \cos \omega t + i (C_{1} - C_{2}) \sin \omega t \right] $
Αν οι αρχικές συνθήκες είναι $ x(0)=x_{0} $ και $ x'(0)=v(0) = v_{0} $, τότε προσδιορίζοντας τις σταθερές $ C_{1} $ και $ C_{2} $, η γενική λύση μπορεί να γραφεί ως
$ x(t) = e^{-\gamma t} \left[ x_{0} \cos \omega t + \frac{v_{0}+x_{0} \gamma}{\omega} \sin \omega t \right] $
Η παραπάνω εξίσωση γράφεται
$ x(t) = A e^{-\gamma t} \sin (\omega t + \phi) $ (2)
όπου $ A = \sqrt{x_{0}^{2} + \left( \frac{v_{0} + x_{0} \gamma}{\omega} \right)^2} $, $ \tan\phi = \frac{x_{0} \omega}{v_{0} + x_{0} \gamma} $ και $ \omega = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \gamma^{2}} $
Στο σχήμα που ακολουθεί βλέπουμε την γραφική παράσταση της απομάκρυνσης συναρτήσει του χρόνου για αρχικές συνθήκες $ x(0)=x_{0} $ και $x'(0)=v_{0} = 0 $
Στην περίπτωση αυτή ισχύει: $ x(t) = \frac{x_{0} \omega_{0}}{\omega} e^{-\gamma t} \sin (\omega t + \theta) $ όπου $ \tan \theta = \frac{\omega}{\gamma} $
Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ W.K.B.
Η μέθοδος WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin) δίνει προσεγγιστικές λύσεις σε διαφορικές εξισώσεις που εμφανίζονται στην κυματική (διάδοση κύματος σε ανομοιογενές μέσο), σε ταλαντώσεις με μεταβλητή συχνότητα, στην κβαντομηχανική κ.α.
Όμως, όπως θα δούμε στη συνέχεια, αν εφαρμοστεί στην περίπτωση της φθίνουσας ταλάντωσης με ασθενή απόσβεση προκύπτει η ακριβής λύση.
Υποθέτουμε, σύμφωνα με την προσέγγιση WKB, μια λύση της μορφής:
$$x(t) = A(t) \sin S(t) $$ όπου $S(t) \sim \omega(t) t $.
Η περίοδος δηλαδή της ταλάντωσης μπορεί να εξαρτάται, όπως και το πλάτος, από τον χρόνο.
Αντικαθιστώντας στην διαφορική εξίσωση της φθίνουσας ταλάντωσης
$x''(t) + 2 \gamma\,x'(t) + \omega^{2}_{0} \, x(t) = 0 $
παίρνουμε μετά από αρκετές πράξεις, το σύστημα των εξισώσεων:
$ 2 A' S' + A S'' +2 \gamma A S' = 0 $
και
$ A'' - A S'^{2} +2\gamma A' +\omega_{0}^{2} A = 0 $
Θεωρώντας ότι $ S'' \approx 0 $ (η μοναδική προσέγγιση που κάνουμε), η πρώτη εξίσωση δίνει:
$ A(t) = C e^{-\gamma t} $ και αντικαθιστώντας στην δεύτερη έχουμε:
$ -\gamma^{2} - S'^{2} + \omega_{0}^{2} = 0 \Rightarrow S = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \gamma^{2}} t + C_{1} $
ή δεδομένου ότι $ \omega = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \gamma^{2}} $, $ S(t) = \omega t + C_{1} $
Έτσι, προκύπτει για άλλη μια φορά η γνωστή λύση της φθίνουσας ταλάντωσης με ασθενή απόσβεση [όπως η εξ. (2)]: $$ x(t) = C e^{-\gamma t} \sin (\omega t + C_{1}) $$ όπου οι σταθερές C και C1 προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.