1. Aν $v_{A}$, $ v_{B}$ και $ v_{C}$ είναι οι ταχύτητες που έχει η χάντρα στα σημεία A, Β και C. Να δείξετε ότι η μέση ταχύτητα για την διαδρομή ΑΒ είναι: $ \bar{v}_{1}=\frac{v_{A}+v_{B}}{2}=\frac{v_{A} +\sqrt{2g(y_{A}-y_{B})}}{2}$ και για την διαδρομή ΒC: $ \bar{v}_{2}=\frac{v_{B}+v_{C}}{2}=\frac{\sqrt{2g(y_{A}-y_{B})}+\sqrt{2g(y_{A}-y_{C})}}{2}$
H απάντηση προκύπτει εύκολα εφαρμόζοντας το θεώρημα της μέσης ταχύτητας ή θεώρημα Merton (βλέπε πράσινο ένθετο του κεφαλαίου 1.1 στο βιβλίο της Α' Λυκείου ή ΕΔΩ)
2. Θεωρούμε τα σημεία Α και C σταθερά, καθώς επίσης και την τεταγμένη yB του σημείου Β, ενώ η τετμημένη α του σημείου Β μπορεί να μεταβάλλεται. Η χάντρα διανύει τις διάφορες διαδρομές Α→Β(α)→C με την ίδια αρχική ταχύτητα $ v_{A}$. Να δείξετε ότι η διαδρομή στην οποία η χάντρα κάνει τον ελάχιστο χρόνο να πάει από το Α στο C, ικανοποιεί την εξίσωση του "μηχανικού νόμου Snell" : $ \frac{\sin \theta_{1}}{\sin \theta_{2}}=\frac{\bar{v}_{1}}{\bar{v}_{2}} $, όπου $ \theta_{1}$ και $ \theta_{2}$, οι γωνίες "πρόσπτωσης" και "διάθλασης", αντίστοιχα.
Ισχύει: $ t_{o \lambda}=\frac{AB}{\bar{v}_{1}}+\frac{BC}{\bar{v}_{2}} $. Εκφράζουμε τις (υποτείνουσες ορθογωνίων τριγώνων) ΑΒ και BC συναρτήσει της μεταβλητής α (οι μέσες ταχύτητες δεν εξαρτώνται από την μεταβλητή α), και απαιτούμε η συνάρτηση $ t_{o \lambda}(a)$ να έχει ελάχιστο: $ dt_{o \lambda}(a)/da=0$. H απόδειξη είναι παρόμοια με την απόδειξη του νόμου διάθλασης του Snell εφαρμόζοντας την αρχή του Fermat.