Η πολυδιάστατη απλότητα της Φυσικής

 Συνήθως η ανάλυση των φυσικών φαινομένων γίνεται όλο και πιο περίπλοκη καθώς αυξάνονται οι διαστάσεις του χώρου στον οποίο εξελίσσονται αυτά. Για παράδειγμα, η μελέτη της πλάγιας κρούσης μεταξύ δυο σωμάτων που πραγματοποιείται σε δυο διαστάσεις είναι δυσκολότερη σε σχέση με την κεντρική κρούση σε μια μόνο διάσταση. Ή η μελέτη της περιστροφής ενός στερεού σώματος σε τρεις διαστάσεις είναι δυσκολότερη σε σχέση με την περιστροφή του σε δυο διαστάσεις.

Ωστόσο, πολλές προσεγγίσεις στη σύγχρονη θεωρητική φυσική δείχνουν ότι αν θεωρήσουμε περισσότερες διαστάσεις τότε το φυσικό πρόβλημα προσεγγίζεται ευκολότερα. Στη γενική θεωρία της σχετικότητας, ο ηλεκτρομαγνητισμός και η βαρύτητα μπορούν να ‘ενοποιηθούν’ προσθέτοντας μια επιπλέον διάσταση. Στην φυσική συμπυκνωμένης ύλης, οι ημι-κρύσταλλοι μπορούν να θεωρηθούν ως προβολές ενός πλέγματος υψηλότερης διάστασης. Και τέλος, η θεωρία χορδών είναι μια θεωρία που επιχειρεί να επιλύσει προβλήματα χρησιμοποιώντας επιπλέον διαστάσεις.

Η γελοιογραφία από το μακρινό 1980 σατίριζε τις φυσικές θεωρίες που υποστήριζαν ότι ο κόσμος μας έχει περισσότερες από τις 4 γνωστές μας διαστάσεις (3 χωρικές + χρόνος). Σήμερα η γελοιογραφία δεν προκαλεί γέλιο γιατί οι έξτρα διαστάσεις θεωρούνται κάτι αυτονόητο (βλέπε π.χ. θεωρία χορδών)

Αν και η προσθήκη επιπλέον διαστάσεων χρησιμοποιείται συνήθως σε πιο προχωρημένη φυσική, μερικές φορές βοηθάει και στην απλοποίηση προβλημάτων της ευκολότερης κλασικής φυσικής. Όμως, αυτά είναι πολύ σπάνια.
Μια τέτοια περίπτωση είναι και η μονοδιάστατη κίνηση ενός ηλεκτρικού φορτίου υπό την επίδραση δυναμικού της μορφής V1(x)~1/x2  δυναμικής ενέργειας U1=α/x2 όπου α=σταθερά), με αρχικές συνθήκες x(0)=x0 και υ(0)=0. Το πρόβλημα αυτό απλοποιείται θεωρώντας μία επιπλέον διάσταση, αλλά ας δούμε πρώτα την κανονική ‘μονοδιάστατη’ λύση του. Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας παίρνουμε

$U_{1}(x_{0})= U_{1}(x)+ \frac{1}{2}m v^{2}$ ή $ \frac{a}{x_{0}^{2}}=\frac{a}{x^{2}}+\frac{1}{2}m \left( \frac{dx}{dt} \right)^{2} $

Mετά από κάποιες πράξεις έχουμε: $ t=\sqrt{\frac{m}{2a}} \int_{x_{0}}^{x} \frac{x dx}{\sqrt{x^{2}-x_{0}^{2}}}$

Aφού κάνουμε αλλαγή μεταβλητής $ y=\sqrt{x^{2}-x_{0}^{2}}$, μετά από ... περισσότερες πράξεις θα φτάσουμε στο τελικό αποτέλεσμα:

$ x(t)=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{2a}{mx_{0}^{2}}t^{2}} $  (1)

Ας δούμε τώρα την 'μαγική' λύση που προκύπτει χωρίς πολλές πράξεις και ολοκληρώματα, αρκεί να προσθέσουμε μια επιπλέον διάσταση!

(πηγή: A Curious Use of Extra Dimension in Classical Mechanics)

Θεωρούμε την κίνηση του σώματος στον χώρο των δύο διαστάσεων σε ένα κεντρικό δυναμικό V2(r) και τις πολικές συντεταγμένες του r και θ [όπου r(t)≡x(t)]. Οι αρχικές συνθήκες είναι οι ίδιες υ(0)=0, r(0)=x0 [αρχική ενέργεια=α/x02].

Για την κίνηση ενός σώματος (στις δυο διαστάσεις) κάτω από την επίδραση ενός κεντρικού δυναμικού V2(r) ισχύει: $ E=\frac{1}{2}m \left( \frac{dr}{dt} \right)^{2} + U_{eff}(r) $, όπου $U_{eff}(r)= \frac{L^{2}}{2mr^{2}}+U_{2}(r)=mr v_{\theta}+U_{2}(r) $ (βλέπε π.χ. Alonso-Finn ΕΔΩ).

H κίνηση του σώματος στον μονοδιάστατο χώρο υπό την επίδραση του δυναμικού V1(r) είναι ισοδύναμη με την ελεύθερη κίνηση του σωματιδίου στον δισδιάστατο χώρο [χωρίς δυναμικό V2(r)=0]. Στις δυο διαστάσεις θα έχουμε ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, οπότε: $ U_{eff}(r=0)= \frac{a}{x_{0}^{2}} =mr(0)v_{\theta} $ ή $ v_{\theta}=\frac{1}{x_{0}} \sqrt{\frac{2a}{m}} $. Kαι σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα από το πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει: $ r(t) = x(t) = \sqrt{r^{2}(0)+(v_{\theta}t)^{2}} $ η οποία ταυτίζεται με την εξίσωση (1). Φτάσαμε λοιπόν στην ίδια απάντηση με καθαρά γεωμετρικό τρόπο αποφεύγοντας ολοκληρώματα και περίπλοκες πράξεις, αυξάνοντας κατά μία τις διαστάσεις του χώρου.

αρχική δημοσίευση