Ένα κλιματικό μοντέλο σαν ‘σφαιρική αγελάδα’

Το απλούστερο κλιματικό μοντέλο για το φαινόμενο του θερμοκηπίου

Η παραγωγή γάλακτος σε μια φάρμα αγελάδων ήταν τόσο μικρή, που ο ιδιοκτήτης-αγρότης αποφάσισε να ζητήσει την βοήθεια των επιστημόνων από το γειτονικό πανεπιστήμιο. Το πανεπιστήμιο ανταποκρίθηκε άμεσα σχηματίζοντας μια ομάδα ερευνητών, με επικεφαλής έναν θεωρητικό φυσικό, που διεξήγαγε εντατική επιτόπια έρευνα για έναν ολόκληρο μήνα. Στη συνέχεια, οι ερευνητές επέστρεψαν στο πανεπιστήμιο, με όλα τα απαραίτητα δεδομένα και ο αρχηγός της ομάδας ανέλαβε την συγγραφή της έκθεσης των συμπερασμάτων. Ο θεωρητικός φυσικός επιστρέφοντας στην φάρμα, ανακοίνωσε στον αγρότη το τελικό αποτέλεσμα: «Βρήκα τη λύση, αλλά λειτουργεί μόνο στην περίπτωση σφαιρικών αγελάδων στο κενό».

 Η "σφαιρική αγελάδα" χρησιμοποιείται ως χιουμοριστική μεταφορά για τα επιστημονικά μοντέλα που περιγράφουν περίπλοκα φαινόμενα με όσο το δυνατόν απλό τρόπο. Κυκλοφορεί ευρέως στην κοινότητα των θεωρητικών φυσικών, οι οποίοι έχουν την τάση να ανάγουν ένα πρόβλημα στην απλούστερη δυνατή μορφή, προκειμένου να κάνουν τους υπολογισμούς τους πιο εύκολους, ακόμα κι αν η απλοποίηση εμποδίζει την εφαρμογή του μοντέλου στην πραγματικότητα. Το ανέκδοτο κυκλοφορεί σε διάφορες εκδοχές, όπως π.χ. με σφαιρικά κοτόπουλα:

Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε το απλούστερο δυνατό κλιματικό μοντέλο για το φαινόμενο του θερμοκηπίου και θα δούμε αν μπορεί να εφαρμοστεί, έστω κατά προσέγγιση, στην πραγματικότητα ή αν τελικά λειτουργεί μόνο στην περίπτωση 'σφαιρικών αγελάδων στο κενό'.

Η ηλιακή σταθερά

Ένα μέγεθος που είναι απαραίτητο για την κατασκευή οποιουδήποτε κλιματικού μοντέλου είναι η ηλιακή σταθερά. Πρόκειται για την ενέργεια της ηλιακής ακτινοβολίας που προσπίπτει ανά δευτερόλεπτο κάθετα σε μια επιφάνεια ενός τετραγωνικού μέτρου, που βρίσκεται στην µέση απόσταση Γης-Ήλιου. Η μονάδα μέτρησής της είναι Watt/m² και στην βιβλιογραφία εμφανίζεται με διάφορα σύμβολα S₀, TST, F_S, G_sc, κ.ά., οπότε δικαιούμαστε να χρησιμοποιήσουμε το δικό μας σύμβολο, το Ι_Γ.

Την ηλιακή σταθερά μπορούμε είτε να την υπολογίσουμε χονδρικά με την βοήθεια ενός ... ηλιακού θερμοσίφωνα ή με πολύ καλή ακρίβεια αν γνωρίζουμε την απόσταση Γης-Ήλιου και την επιφανειακή θερμοκρασία του Ήλιου χρησιμοποιώντας τον νόμο των Stefan - Boltazmann. 

Νόμος των Stefan-Boltzmann: η ενέργεια που ακτινοβολεί ένα μέλαν σώμα (ανά μονάδα χρόνου και ανά μονάδα επιφάνειας) είναι ανάλογη του Τ⁴, όπου Τ= η θερμοκρασία του σώματος σε Kelvin: $ I \left( \frac{W}{m^{2}} \right)=\sigma \cdot T^{4} $, όπου $ \sigma=5,67 \cdot 10^{-8}\frac{W}{m^{2}K^{4}} $ η σταθερά του Stefan.

 Σύμφωνα με μια παλαιότερη ανάρτηση (ΕΔΩ), προκύπτει εύκολα μια αποδεκτή τιμή για την ηλιακή σταθερά: Ι_Γ=1361 W/m². Στην ίδια ανάρτηση, υπολογίζεται και η θερμοκρασία που θα είχε η Γη αν δεν διέθετε ατμόσφαιρα, ως εξής: από την ηλιακή ακτινοβολία που φτάνει στην Γη ένα μέρος της, το α%, ανακλάται στο διάστημα. Το μέγεθος αυτό συνήθως αναφέρεται ως λευκαύγεια ή albedo. Δεδομένου ότι η Γη δεν δέχεται απευθείας σε όλη την επιφάνειά της (4πR_Γ²) την ηλιακή ακτινοβολία, αλλά στην επιφάνεια ενός δίσκου με εμβαδόν πR_Γ², η ισχύς που απορροφάται από την Γη θα ισούται με: $ P_{\eta \lambda}=(1-a) I_{\Gamma}\pi R_{\Gamma}^{2} $

H Γη με την σειρά της πρέπει να ακτινοβολεί κι αυτή θερμική ενέργεια πίσω στο διάστημα, διαφορετικά η θερμοκρασία της θα αυξανόταν συνεχώς. Επειδή η Γη ακτινοβολεί από ολόκληρη την επιφάνειά της 4πR_Γ², αν η επιφανειακή της θερμοκρασία είναι Τ_Γ, τότε σύμφωνα με τον νόμο των Stefan-Boltzmann θα ακτινοβολεί στο διάστημα ισχύ P_Γ=σ∙Τ_Γ⁴∙4πR_Γ². Απαιτώντας θερμική ισορροπία για την Γη πρέπει η εισερχόμενη ενέργεια να ισούται με την εξερχόμενη. Δηλαδή, P_ηλ= P_Γ, και αντικαθιστώντας τις προηγούμενες εξισώσεις προκύπτει η θερμοκρασία της Γης χωρίς ατμόσφαιρα: $$ T_ {\Gamma}= \sqrt[4]{\frac{I_{\Gamma}(1-a)}{4\sigma}} (1)$$

Για την λογική τιμή α=0,3 της λευκαύγειας (albedo), προκύπτει ότι μια Γη χωρίς ατμόσφαιρα θα ήταν παγωμένη Γη με θερμοκρασία -18 ^οC. Κι αυτό είναι ένα ικανοποιητικό συμπέρασμα.

Ευτυχώς υπάρχει η ατμόσφαιρα

Tο φάσμα της ηλιακής και της γήινης ακτινοβολίας, θεωρώντας τον Ήλιο και την Γη ως μέλανα σώματα. Το μήκος κύματος λ_max στο οποίο εκπέμπεται η περισσότερη ποσότητα ακτινοβολίας από ένα μέλαν σώμα ικανοποιεί τον νόμο μετατόπισης Wien λ_maxT=3∙10^-3 (όπου λ_max σε m και Τ σε Κelvin). Θέτοντας Τ=5500 Κ όση η θερμοκρασία στην επιφάνεια του Ήλιου παίρνουμε ότι το μήκος κύματος στο οποίο εκπέμπεται η περισσότερη ποσότητα ακτινοβολίας από τον Ήλιο ισούται με λ_max=5,2∙10^-7m=0,5μm. Αν θέσουμε Τ=288Κ, όση η μέση θερμοκρασία στην επιφάνεια της Γης, παίρνουμε το μήκος κύματος στο οποίο εκπέμπεται η περισσότερη ακτινοβολία από την Γη, λ_max=10^-5m=10μm.  Η γήινη ατμόσφαιρα ενώ είναι διαφανής στην ακτινοβολία του ορατού φάσματος, είναι αδιαφανής στην υπέρυθρη ακτινοβολία και έτσι προκαλείται το φαινόμενο του θερμοκηπίου.

Η μεγαλύτερη ποσότητα της ηλιακής ακτινοβολίας συνίσταται από τα μικρά μήκη κύματος της ορατής ακτινοβολίας ~0,5μm (όπως προκύπτει πολύ εύκολα από τον νόμο μετατόπισης του Wien). Και είναι φανερό σε όλους μας ότι η γήινη ατμόσφαιρα είναι διαφανής στην ακτινοβολία του ορατού φάσματος. Έτσι, αν εξαιρέσουμε την ποσότητα της ηλιακής ακτινοβολίας που ανακλάται (albedo), η μεγαλύτερη ποσότητά της φτάνει στην επιφάνεια της Γης. Κι όμως, όπως είδαμε προηγουμένως αυτό δεν αρκεί για να την κρατήσει ζεστή. Κι εδώ παίρνει την σκυτάλη η ατμόσφαιρα και το λεγόμενο φαινόμενο του θερμοκηπίου. Αν υποθέσουμε ότι η μέση θερμοκρασία στην επιφάνεια της Γης είναι 15 ^oC, τότε ο νόμος μετατόπισης του Wien μας δείχνει ότι η μεγαλύτερη ποσότητα της ακτινοβολίας συνίσταται από τα μεγάλα μήκη κύματος της υπέρυθρης ακτινοβολίας ~10μm. Εδώ βρίσκεται η καρδιά του φαινομένου του θερμοκηπίου. Η γήινη ατμόσφαιρα ενώ είναι διαφανής στην ακτινοβολία του ορατού φάσματος που έρχεται από τον Ήλιο, είναι σχεδόν αδιαφανής στην υπέρυθρη ακτινοβολία που εκπέμπεται από τη Γη.

 Ένα μέρος της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας από την Γη, $ \epsilon P_{\Gamma} = \epsilon \cdot \sigma T_ {\Gamma}^{4} 4 \pi R_{\Gamma}^{2} \,\, (\epsilon<1)$ απορροφάται από την ατμόσφαιρα και το υπόλοιπο $ (1-\epsilon) P_{\Gamma}$, διαφεύγει στο διάστημα. Η ατμόσφαιρα αποκτά μια θερμοκρασία Τ_ατμ και εκπέμπει επίσης ακτινοβολία P_ατμ και προς το διάστημα, αλλά και προς τη Γη.

Θεωρώντας θερμική ισορροπία (εισερχόμενη ενέργεια=εξερχόμενη ενέργεια), για την ατμόσφαιρα θα ισχύει: $ \epsilon P_{\Gamma} = 2 P_{a\tau \mu} \,\,\, (2) $, ενώ θεωρώντας το ίδιο και για την Γη παίρνουμε: $ P_{\eta \lambda} + P_{a\tau \mu}=P_{\Gamma} \, \,$ και αντικαθιστώντας παίρνουμε: $ \, \, (1-a) I_{\Gamma} \pi R_{\Gamma}^{2} +P_{a\tau \mu}4\pi R_{\Gamma}^{2}=P_{\Gamma} 4 \pi R_{\Gamma}^{2} \,\,\, (3) $.

Από τις (2) και (3) προκύπτει η θερμοκρασία στην επιφάνεια της Γης:

$ T_ {\Gamma}= \sqrt[4]{\frac{I_{\Gamma}(1-a)}{4\sigma (1-\epsilon/2)}} \, \, \, \, \, (4) $

Παρατηρούμε ότι, θεωρώντας τις γνωστές τιμές: Ι_Γ=1361 W/m², α=0,3 και $ \sigma=5,67 \cdot 10^{-8}\frac{W}{m^{2}K^{4}} $: 

 για є=0 προκύπτει Τ_Γ=255 Κ ή -18 ^οC, δηλαδή δεν υφίσταται φαινόμενο θερμοκηπίου, αφού στην περίπτωση αυτή η ατμόσφαιρα δεν απορροφά καθόλου την θερμική (υπέρυθρη) ακτινοβολία που εκπέμπει η Γη.

• για є=1 προκύπτει Τ_Γ=303 Κ ή 30^οC, μια θερμοκρασία πολύ υψηλή, αφού η ατμόσφαιρα εγκλωβίζει όλη την εκπεμπόμενη θερμική ακτινοβολία από την Γη.  
• ενώ για την 'λογική' τιμή є=0,77 προκύπτει Τ_Γ=288 Κ ή 15 ^οC κοντά στην μέση θερμοκρασία της Γης.

 Φαίνεται τελικά ότι ακόμα και με υποθέσεις τύπου 'έστω σφαιρικές αγελάδες στο κενό', μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα απλούστατο κλιματικό μοντέλο που δίνει κάποιες θεμελιώδεις απαντήσεις.

 25/11/2021