Διακροτήματα και αρχή της αβεβαιότητας

 Από την σύνθεση δυο αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, με το ίδιο πλάτος Α, αλλά διαφορετικές συχνότητες $ f_{1}$ και $ f_{2}<f_{1}$ , προκύπτει μια ιδιόμορφη κίνηση που παρουσιάζει διακροτήματα:

Παρατηρούμε ότι το πλάτος της σύνθετης κίνησης μεταβάλλεται με αργό ρυθμό. Ο χρόνος ανάμεσα σε δυο διαδοχικούς μηδενισμούς (ή δυο διαδοχικές μεγιστοποιήσεις) του πλάτους ονομάζεται περίοδος του διακροτήματος.

Η περίοδος των διακροτημάτων αποδεικνύεται εύκολα ότι είναι:

$ \Delta t=\frac{1}{f_{1}-f_{2}}=\frac{1}{\Delta f} \,\,$ ή $ \Delta f \cdot \Delta t= 1 $

Σύμφωνα με την παραπάνω εξίσωση όταν η διαφορά των συχνοτήτων αυξάνεται, τότε το χρονικό διάστημα μεταξύ δυο μηδενισμών του πλάτους μικραίνει και αντιστρόφως. Με αφετηρία αυτή την απλή σχέση μπορούμε να καταλήξουμε στην σχέση αβεβαιότητας ενέργειας-χρόνου της κβαντομηχανικής, ως εξής:

Πολλαπλασιάζουμε με την σταθερά του Planck $ h$ την τελευταία εξίσωση και παίρνουμε: $ h \Delta f \cdot \Delta t = h$. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση των κβάντων ενέργειας $E=hf$ ή $ \Delta E =h \Delta f$ προκύπτει αμέσως η προσεγγιστική έκφραση της αρχής της αβεβαιότητας: $ \Delta E \cdot \Delta t \sim h $, η οποία συσχετίζει την αβεβαιότητα στην ενέργεια με την αβεβαιότητα στον χρόνο (*).

Η παραπάνω προσέγγιση φαίνεται πιο πειστική σε σχέση με την αντίστοιχη που έχει ως αφετηρία την απλούστερη σχέση περιόδου-συχνότητας που περιγράφεται σε προηγούμενη ανάρτηση με τίτλο: 'Μια επιβεβαίωση της αβεβαιότητας'. Όμως, η πειστικότερη όλων είναι εκείνη που χρησιμοποιεί την έννοια της κυματομάδας και το θεώρημα εύρους ζώνης. Aλλα αυτό είναι μια άλλη ιστορία.

(*) Υπενθυμίζεται ότι η κβαντομηχανική των βιβλίων αντιμετωπίζει τον χρόνο ως μια κλασική παράμετρο και όχι ως κβαντικό παρατηρήσιμο (observable) που συσχετίζεται με έναν ερμιτιανό τελεστή. Έτσι στην σχέση αβεβαιότητας ενέργειας-χρόνου ο όρος Δt ερμηνεύεται ως χρονικό διάστημα και δεν είναι ίδιος με την εγγενή κβαντική αβεβαιότητα των άλλων μεγεθών. Το Δt εκφράζει το χαρακτηριστικό χρόνικό διάστημα εξέλιξης του συστήματος που μελετάται. Όσο πιο μεγάλο είναι το Δt τόσο μικρότερη είναι η (κβαντική) αβεβαιότητα ΔΕ στην ενέργεια του συστήματος και αντιστρόφως. Διαβάστε σχετικά: 'The Time-Energy Uncertainty Relation' και 'The time-energy uncertainty relation for quantum events'
9/06/2022