Μια κλασική προσέγγιση της εξίσωσης διαστολής του σύμπαντος

 Ταχύτητα διαφυγής και διαστολή του σύμπαντος

Ένα κλασικό πρόβλημα απλής φυσικής είναι ο προσδιορισμός της ταχύτητας διαφυγής υ_δ ενός σώματος που εκτοξεύεται από την επιφάνεια ενός σφαιρικού και ομογενούς πλανήτη (χωρίς ατμόσφαιρα). Και όταν λέμε ταχύτητα διαφυγής εννοούμε την αρχική ταχύτητα που πρέπει να δοθεί σε ένα σώμα που βρίσκεται στην επιφάνεια του πλανήτη, έτσι ώστε να φτάσει σε άπειρη απόσταση με ταχύτητα ίση με το μηδέν (ακριβώς!). Δηλαδή να διαφύγει οριακά από το πεδίο βαρύτητας του πλανήτη.

Από την επιφάνεια ενός ενός πλανήτη μάζας Μ, και ακτίνας R εκτοξεύεται με ταχύτητα υ ένα σώμα μάζας m. Θεωρούμε ότι ο πλανήτης δεν διαθέτει ατμόσφαιρα.

• Aν το σώμα εκτοξευθεί με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα διαφυγής (υ=υ_δ), τότε εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας θα έχουμε:  $ \frac{1}{2} m v_{\delta}^{2} - G \frac{m \, M}{r_{1}} = 0-G \frac{m \, M}{r_{2}} $ ή $ \frac{1}{2} m v_{\delta}^{2} - G \frac{m \, M}{R} = 0$, και λύνοντας ως προς την ταχύτητα διαφυγής:
                                                           $ v_{\delta}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{\frac{8 \pi G \rho R^{2}}{3}} \,\,\, (1)$
  (στο τελευταίο βήμα χρησιμοποιήθηκε η σχέση που συνδέει την μάζα με την πυκνότητα του σφαιρικού πλανήτη $ M=\rho \frac{4}{3} \pi R^{3}$)
• Αν στο σώμα δοθεί αρχική ταχύτητα μικρότερη της ταχύτητας διαφυγής (υ<υ_δ), τότε το σώμα θα φτάσει σε ένα μέγιστο ύψος, όπου η ταχύτητά του θα μηδενιστεί και στη συνέχεια θα επιστρέψει στην επιφάνεια του πλανήτη.
• Αν εκτοξευθεί με ταχύτητα μεγαλύτερη της ταχύτητας διαφυγής (υ>υ_δ), τότε το σώμα θα φτάσει σε άπειρη απόσταση από τον πλανήτη, με κάποια ταχύτητα.

Η εξίσωση (1) αποκτά «κοσμολογική σημασία» αν λυθεί ως προς την πυκνότητα: $ \rho=3(v_{\delta}/R)^{2}/8 \pi G$  και αυθαίρετα θέσουμε $ v_{\delta}/R=H$ όπου Η η σταθερά του Hubble. Έτσι, καταλήγουμε αναπάντεχα στην εξίσωση της κρίσιμης πυκνότητας του σύμπαντος ρ_c συναρτήσει της σταθεράς του Hubble: $ \rho=\rho_{c}=\frac{3H^{2}}{8 \pi G}$ .
Η κρίσιμη πυκνότητα του σύμπαντος αποτελεί μια σημαντική κοσμολογική παράμετρο που καθορίζει την μοίρα του σύμπαντος:

• αν η πυκνότητα του σύμπαντος ισούται με την κρίσιμη πυκνότητα, τότε το σύμπαν θα συνεχίσει να διαστέλλεται επ’ άπειρο, αλλά ο ρυθμός διαστολής του θα τείνει στο μηδέν,
• αν είναι μικρότερη θα διαστέλλεται συνεχώς με πεπερασμένο ρυθμό διαστολής, και
• αν είναι μεγαλύτερη, τότε το σύμπαν θα πάψει να διαστέλλεται και θα αρχίσει η συστολή του.

Η αναλογία με το σώμα που εκτοξεύεται από την επιφάνεια ενός πλανήτη είναι αν μη τι άλλο εντυπωσιακή!
Αυτή η αναλογία μας δείχνει ότι θα μπορούσαμε να προσεγγίσουμε και την εξίσωση που περιγράφει την διαστολή του σύμπαντος, αποφεύγοντας τον δύσβατο (αλλά επιστημονικά ορθό) δρόμο της Γενικής Σχετικότητας, μέσα από την κλασική θεωρία της βαρύτητας του Νεύτωνα.

Η εξίσωση της διαστολής του σύμπαντος

Κάνοντας τις ίδιες υποθέσεις όπως και στην Γενική Σχετικότητα, θεωρούμε ότι στο ομοιόμορφα διαστελλόμενο σύμπαν η ύλη των γαλαξιών και των άστρων που το αποτελούν κατανέμονται ομογενώς και ότι το σύμπαν φαίνεται το ίδιο από όποιοδήποτε σημείο του. Επιλέγουμε ως «κέντρο» του το τυχαίο σημείο K. Θα υπολογίσουμε το άθροισμα της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας και της κινητικής ενέργειας που έχει ο γαλαξίας Α μάζας m, που απέχει απόσταση r από το K.

Ο γαλαξίας Α που βρίσκεται σε απόσταση r από το ‘κέντρο’ Κ δέχεται βαρυτική δύναμη (F=mg_r=mGM_r/r²) μόνο από την ύλη που περικλείεται στην σφαιρική επιφάνεια ακτίνας r. Το αποτέλεσμα προκύπτει εύκολα εφαρμόζοντας το νόμο του Gauss για το βαρυτικό πεδίο.

 H δυναμική ενέργεια του γαλαξία στο σημείο Α ως προς το κέντρο Κ θα είναι:  $ U=-\frac{GM_{r}m}{r}=-\frac{4 \pi}{3}G \rho \, m \, r^{2}$, όπου $M_{r}=\rho \frac{4}{3} \pi r^{3}$, η μάζα που περικλείεται στην σφαιρική επιφάνεια ακτίνας r. Έτσι η ολική ενέργεια θα είναι:

$ E=K+U=\frac{1}{2} m \dot{r}^{2}-\frac{4 \pi}{3}G \rho \, m \, r^{2} =\sigma \tau a \theta. \,\,\,(2)$

Για έναν άλλον γαλαξία που απέχει διαφορετική απόσταση από το Γ η ολική ενέργεια είναι διαφορετική. Η εξίσωση (2) μας δίνει την εξέλιξη της απόστασης r μεταξύ δυο γαλαξιών. Κι αυτό ισχύει για δυο οποιουσδήποτε γαλαξίες του σύμπαντος γιατί το θεωρούμε ομογενές. Το γεγονός αυτό μας επιτρέπει να επιλέξουμε ένα διαφορετικό σύστημα συντεταγμένων, γνωστό ως συν-κινούμενο (comoving) σύστημα συντεταγμένων, του οποίου οι συντεταγμένες ακολουθούν την διαστολή του σύμπαντος. Θεωρώντας την διαστολή ομοιόμορφη, η σχέση μεταξύ της απόστασης $ \vec{r}$  και της συν-κινούμενης απόστασης $ \vec{x}$, μπορεί να γραφεί: $ \vec{r}=R(t) \vec{x} \,\,\, (3) $
Το μέγεθος $R$ που εξαρτάται από τον χρόνο ονομάζεται παράγοντας κλίμακας και μετράει τον καθολικό ρυθμό διαστολής του σύμπαντος. Μας δείχνει πως αυξάνονται με τον χρόνο οι φυσικές αποστάσεις, αφού οι αποστάσεις στο σύστημα συντεταγμένων $\vec{x}$ είναι εξ ορισμού σταθερές.

Το διαστελλόμενο Σύμπαν σε μια τυπική κλίμακα λ. Το πλέγμα παριστάνει το συν-κινούμενο σύστημα συντεταγμένων που δεν αλλάζει με το χρόνο. Οι φυσικές αποστάσεις αυξάνονται αναλογικά με τον παράγοντα κλίμακας R(t) (πηγή).

Για παράδειγμα, αν o παράγοντας κλίμακας διπλασιαστεί $ R(t_{2})=2R(t_{1})$, σημαίνει ότι το σύμπαν έχει διασταλεί σε μέγεθος κατά έναν παράγοντα δυο, και θα μας έπαιρνε δυο φορές περισσότερο χρόνο να φτάσουμε από τον ένα γαλαξία στον άλλο.

Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (2) και (3) προκύπτει: $E=\frac{1}{2}m \, \dot{R}^{2}x^{2}-\frac{4\pi}{3}\rho\,R^{2}x^{2}m \,\, $ ή αναδιατάσσοντας τους όρους:  

$\left( \frac{\dot{R}}{R} \right)^{2}=\frac{8 \pi G}{3} \rho + \frac{\frac{2E}{mx^{2}}}{R^{2}} \,\, (4) $

Χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι εξ ορισμού ισχύει $ \dot{x}=0$, αφού τα αντικείμενα παραμένουν σταθερά στις συν-κινούμενες συντεταγμένες.

Ο παράγοντας κλίμακας R και η σταθερά του Hubble H : Δεδομένου ότι $ \vec{v}=\frac{d \vec{r}}{dt}=\frac{d(R \vec{x})}{dt}=\frac{\dot{R}}{R} \vec{r}$ τότε συγκρίνοντας με τον νόμο του Hubble $ \vec{v}=H \vec{r}$, προκύπτει ότι $ H=\frac{\dot{R}}{R}$.

Αρκεί τώρα στην εξίσωση (4) να κάνουμε την ουρανοκατέβατη αντικατάσταση $ \frac{2E}{mx^{2}} =-kc^{2} $ για να πάρουμε την ‘εξίσωση της διαστολής του σύμπαντος‘ ή εξίσωση του Friedmann που δίνει η γενική σχετικότητα: $ \left( \frac{\dot{R}}{R} \right)^{2}=\frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^{2}}{R^{2}} $ (όπου $ c$ η ταχύτητα του φωτός και $k$ μια σταθερά αμετάβλητη στον χώρο και στον χρόνο).  
Xρησιμοποιώντας την σχέση της σταθεράς Hubble με τον παράγοντα κλίμακς $H=\frac{\dot{R}}{R}$ και την εξίσωση της κρίσιμης πυκνότητας $\rho_{c}=\frac{3H^{2}}{8 \pi G}$, η εξίσωση Friedmann γράφεται: $\frac{8 \pi G}{3} (\rho - \rho_{c})=kc^{2}/R $.
Ο γεωμετρικός παράγοντας $k$ παίρνει τις τιμές $k=0, +1, -1$, που καθορίζουν την γεωμετρία και την εξέλιξη του σύμπαντος.
Η τιμή k=0 αντιστοιχεί στην μετρική του επίπεδου ευκλείδειου χώρου, η οποία περιγράφει το επίπεδο σύμπαν (τότε προκύπτει ρ=ρ_c , οπότε το σύμπαν θα συνεχίσει να διαστέλλεται επ’ άπειρο, αλλά ο ρυθμός διαστολής του θα τείνει στο μηδέν)
Η τιμή k=+1 αντιστοιχεί στην γεωμετρία τρισδιάστατης σφαίρας και περιγράφει το κλειστό σύμπαν (εδώ ισχύει ρ>ρ_c και το σύμπαν κάποτε θα πάψει να διαστέλλεται και θα αρχίσει η συστολή του).
Η τιμή k=-1 αντιστοιχεί στη γεωμετρία μιας υπερεπιφάνειας στο χώρο Minkowski και περιγράφει το ανοιχτό σύμπαν (στην περίπτωση αυτή ισχύει ρ<ρ_c και το σύμπαν θα διαστέλλεται συνεχώς με πεπερασμένο ρυθμό διαστολής).

πηγές:
1. Steven Weinberg, «Tα πρώτα τρία λεπτά», εκδόσεις ειρμός
2. D.J. Raine, E.G. Thomas, «An Introduction to the science of cosmology», Iop
3. Andrew Liddle, «Eισαγωγή στη σύγγχρονη κοσμολογία», εκδόσεις Ροπή

 2/8/2022