Ένας κατακόρυφος αγώνας ανόδου-καθόδου, με ή χωρίς αντίσταση του αέρα
Πετάμε μια μπάλα κατακόρυφα προς τα πάνω και η μπάλα επιστρέφει στο σημείο εκτόξευσης. Αν Τ είναι ο συνολικός χρόνος κίνησης όταν δεν υπάρχει αντίσταση του αέρα και Τ' ο αντίστοιχος χρόνος όταν υπάρχει αντίσταση του αέρα ανάλογη της ταχύτητας (F=-bυ), τότε ισχύει:
(α) Τ<Τ' (β) Τ =Τ' (γ) Τ>Τ'
Απάντηση:
Θεωρούμε δύο πανομοιότυπα σώματα μάζας που εκτοξεύονται κατακόρυφα προς τα πάνω από το ίδιο σημείο και με την ίδια αρχική ταχύτητα. Το ένα δέχεται δύναμη αντίστασης του αέρα ανάλογη της ταχύτητας: $ F=-b \, v $, ενώ το άλλο δέχεται μόνο την δύναμη του βάρους $ B=m \, g$. Η αρχική ταχύτητα εκτόξευσης υ0 των σωμάτων και στις δυο περιπτώσεις θεωρείται αρκετά μικρή ώστε η ένταση του βαρυτικού πεδίου κοντά στην επιφάνεια της Γης g να μπορεί να θεωρηθεί σταθερή.
Μπορεί το σώμα που κινείται χωρίς την αντίσταση του αέρα να κινείται γρηγορότερα σε σχέση με το σώμα που κινείται στον αέρα, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι το κερδίζει τον αγώνα γιατί φτάνει σε υψηλότερο μέγιστο ύψος. Έτσι δεν είναι και τόσο τετριμμένο το να καταλάβουμε διαισθητικά - ειδικά αν βρισκόμαστε στην παραλία - ποιο σώμα θα κερδίσει, δηλαδή θα επιστρέψει γρηγοροτερα στο σημείο εκτόξευσής του.
Η εξίσωση κίνησης του σώματος που υφίσταται την δύναμη αντίστασης του αέρα θα είναι, $m\dfrac{dv}{dt}=-mg-b \,v$. Θεωρούμε θετική φορά προς τα πάνω. Αν θέσουμε $ \lambda = \dfrac{b}{m}$ και $ v=\dfrac{dy}{dt}$, παίρνουμε: $ \dfrac{dv}{dt}=-g - \lambda \dfrac{dy}{dt}$. Ολοκληρώνοντας για τον συνολικό χρόνο κίνησης Τ' από την εκτόξευση μέχρι την επιστροφή στην αρχική θέση, παίρνουμε: $ v_{\tau}-v_{0}= -gT'- \lambda (y_{\tau} -y_{0})$. Δεδομένου ότι η μπάλα επιστρέφει στη αρχική της θέση, η απόσταση που διανύει κατά την άνοδο ταυτίζεται με την απόσταση που διανύει κατά την κάθοδο, ώστε $ y_{\tau} =y_{0}$, οπότε: $ v_{\tau}-v_{0}= -gT'$ και o συνολικός χρόνος κίνησης θα δίνεται από την σχέση: $ T'=\dfrac{v_{0}-v_{\tau}}{g}$. Γράφουμε την τελική ταχύτητα που έχει αντίθετη φορά προς την καθορισθείσα θετική φορά ως: $ v_{\tau}=-|v_{\tau}|$, οπότε: $ T'=\dfrac{v_{0}+|v_{\tau}|}{g}$. Προφανώς από την αρχή διατήρησης της ενέργειας ισχύει: $ |v_{\tau}|<v_{0}$. Όταν δεν έχουμε αντίσταση του αέρα (b=0), το σώμα επιστρέφει με την ίδια ταχύτητα στην αρχική του θέση, δηλαδή $ |v_{\tau}|=v_{0}$. οπότε ο συνολικός χρόνος κίνησης θα είναι $ T=\dfrac{2v_{0}}{g}>T'=\dfrac{v_{0}+|v_{\tau}|}{g}$. Άρα σωστή απάντηση είναι η (γ).
διαβάστε σχετικά:
1. "A vertical race up and back down with and without drag" , Carl E. Mungan,Seth T. Rittenhouse, Trevor C. Lipscombe -https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/89/1/67/1045747/A-vertical-race-up-and-back-down-with-and-without?redirectedFrom=fulltext
2. Για την σύγκριση του χρόνου ανόδου με τον χρόνο καθόδου στην κατακόρυφη βολή προς τα πάνω με αντίσταση του αέρα, δείτε την απάντηση της ερώτησης 9 στο 'τεστ φυσικής για την παραλία'.